Análisis de regresión

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Objetivos del análisis de regresión

El objetivo principal del análisis de regresión es describir la esperanza y dependencia una cantidad escalable métricamente Y respecto a cantidades escalables métricamente X_1,X_2,\ldots. Se supone dependencia en un solo sentido. Esta dependencia se puede expresar como una función de regresión general de la forma: \hat y = f ( x_1,x_2,\ldots ). El símbolo \hat y indica que la función de regresión de los valores observados x_1,x_2,\cdots no está en correspondencia con un valor observado y, pero si con el valor medio \hat y, que está en la función de regresión. Las variables aleatorias X_1,X_2,\ldots se denominan regresores, variables explicativas o variables independientes. La variable aleatoria Y es el regresando o variable dependiente. Un ejemplo de regresión lineal puede ser el dado por la variable dependiente “tiempo de trabajo” y como variable independiente “Cantidad de producción.”

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Si la dependencia entre Y y X se puede expresar por una función lineal, el valor de la regresión \hat y_i describe el valor de Y. Con lo que el valor de la observación i: y_i=\hat {y_i} + \hat{u_i}  \quad i=1,\ldots,n La diferencia entre los valores obervados y_i y el valor de la función de regresión \hat {y_i} se llama residuo \hat{u_i}. Recoge aquellas influencias que no pueden ser descritas por medio de la la función de regresión; Esto significa que las desviaciones de los valores observados respecto a la función de regresión no pueden ser explicadas por variables independientes. \hat {u_i} = y_i - \hat {y_i} \quad  i=1,\cdots,n Función de regresión La función de regresión es una representación de la dependencia estadística media de una variable dependiente sobre una o más variables independientes. La dependencia se describe mediante una función basada en las n observaciones. Supongamos el caso en que la variable Y depende sólo de la variable X. La forma de la función de regresión f(x) siempre depende de la aplicación específica y del propósito del análisis. Ejemplos de posibles funciones de regresión:

Función lineal \hat{y}=b_0+b_1x
Función cuadrática  \hat{y}= b_0+b_1x+b_2x^2
Función de potencia  \hat{y}=ax^b
Función exponencial \hat {y}=b_0{b_1}^x
Función logarítmica \hat{y}=kl(1+e^{a+bx})