Fluttuazioni periodiche

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Finora abbiamo solamente determinato il trend di una serie temporale. Le informazioni sulle fluttuazioni stagionali sono state prese in considerazione solo nella scelta del filtro adeguato. Ora vogliamo determinare anche i componenti stagionali. Un paio di definizioni utili faciliteranno la comprensione:

  • Periodi: Numero delle ripetizioni di una stagione.

Esempio: dati trimestrali in 10 anni:

  • Sottoperiodi Numero di periodi in un ciclo.

Esempio: dati trimestrali:

  • Numero dei periodi:
  • Valori del trend:
  • Valori osservati:
  • Componente di fluttuazione:

Distinguiamo tra modelli di serie temporali additivi e moltiplicativi. Nel primo caso supponiamo di avere una relazione additiva e nel secondo moltiplicativa tra trend, componente stagionale e residui. Corrispondentemente abbiamo diversi metodi di calcolo dei componenti stagionali.

  • Modello additivo Il valore previsto della variabile X in base al modello di serie temporale (ZRM) à costiuito dalla somma del valore del trend e del componente stagionale medio .
  • Modello moliplicativo Il valore previsto della variabile X in base al modello di serie temporale (ZRM) à dato dal prodotto del valore del trend e del coefficiente stagionale medio .

Esempio: Numero di macchine immatricolate a Berlino - 1. trimestre 1977 - 4. trimestre 1989
Serie temporale additiva:
Filtro:
rosso: serie temporale originale
nero: trend
blu: trend e componente

somma
1 2,934 0,244 12
2 30,424 2,535 12
3 -17,434 -1,453 12
4 -16,120 -1,343 12

En folimg403.gif

Spiegazione In questo esempio potete scegliere una serie temporale e farla scomporre da XploRe. Inoltre à possibile osservare il codice di Xplore e cambiarlo. Spiegazione In questo esempio potete scegliere una serie temporale, e scomporla in trend, componente stagionale e residui. Nella scelta si consideri la periodicità della rilevazione dei dati (per esempio mensili). Il trend viene stimato con il metodo delle medie mobili. Potete scegliere tra diversi filtri. Suggerimento Scegliete dapprima un filtro che vi sembra ragionevole; verificate sul grafico se il filtro scelto à effettivamente adeguato a filtrare la componente stagionale dai dati. Fate attenzione ai residui: ci sono valori che si discostano di molto dagli altri (outlier)? Le oscillazioni hanno un andamento regolare? Ripetete il calcolo con altri filtri e osservate le differenze. Dati Potete scegliere tra le seguenti serie temporali

  • Moneta in circolazione

Moneta in circolazione in Germania.
Periodo considerato: gennaio 1968 - marzo 1998
Periodicità: dati mensili

  • M3

Quantità monetaria M3: variazione in % in rapporto al periodo precedente
Periodo considerato: gennaio 1956 - marzo 1998
Periodicità: dati mensili

  • Bilancia dei pagamenti

Bilancia dei pagamenti in Germania
Periodo considerato: 1977 – 1995
Periodicità: dati mensili

  • Immatricolazione di nuove autovetture

Numero di macchine immatricolate a Berlino
Periodo considerato: 1/1977 - 4/1998
Periodicità: trimestri

  • Precipitazioni

Precipitazioni a Potsdam
Periodo considerato: gennaio 1984 - gennaio 1995
Periodicità: dati mensili

En start.gif

Cliccate su “Start” per iniziare l’esempio interattivo. Si prega di pazientare un attimo.

En folnode5 c k 1 4.gif

In questo esempio illustriamo come scomporre una serie temporale stagionale in trend , componente stagionale e un vettore di residui . Il modello considerato ha quindi la forma . Consideriamo l’esempio delle immatricolazioni di nuove autovetture a Berlino.

Trend

Pià sopra abbiamo presentato due procedure per stimare il trend: il metodo dei minimi quadrati e le medie mobili. In questo esempio utilizziamo l’ultimo modello citato dato dalla formula Per eliminare le fluttuazioni stagionali utlizziamo per dati trimestrali il seguente filtro . Cià assicura una pari considerazione dei dati passati e di quelli futuri () e la stessa ponderazione di ogni stagione (in ogni caso con ). Esempio:

Variazione stagionale

Dal modello otteniamo . Il termine a sinistra del segno di uguaglianza à conosciuto dopo aver stimato il trend. Sotto l’ipotesi che la fluttuazione stagionale assume lo stesso valore ogni trimestre (quindi per esempio: ), possiamo determinare la fluttuazione stagionale calcolando la media aritmetica di tutte le deviazioni che appartengono a una stagione. Esempio: Per tale procedura non ha importanza il metodo con il quale si stima il trend.

Residui

Le stime dei residui vengono calcolate con .

Risultati della scomposizione della serie temporale “immatricolazioni di nuovi autoveicoli”

Si suggerisce di verificare in base ai seguenti risultati la conoscenza della procedura sopra descritta.

quarter
1977.1 1 15222
1977.2 2 17456
1977.3 3 12988 14897.9 -1909.9 -1452.8 -457.1
1977.4 4 13833 15127.8 -1294.8 -1343.3 48.5
1978.1 5 15407 15395.9 11.1 244.5 -233.4
1978.2 6 19110 15370.5 3739.5 2535.4 1204.1
1978.3 7 13479 15408.8 -1929.8 -1452.8 -477
1978.4 8 13139 15487.3 -2348.3 -1343.3 -1005
1979.1 9 16407 15246.3 1160.7 244.5 916.2
1979.2 10 18738 14891 3847 2535.4 1311.6
1979.3 11 11923 14663 -2740 -1452.8 -1287.2
1979.4 12 11853 14267.1 -2414.1 -1343.3 -1070.8
1980.1 13 15869 14058.5 1810.5 244.5 1566
1980.2 14 16109 14160.9 1948.1 2535.4 -587.3
1980.3 15 12883 13971.5 -1088.5 -1452.8 364.3
1980.4 16 11712 13707.8 -1995.8 -1343.3 -652.5
1981.1 17 14495 13298 1197 244.5 952.5
1981.2 18 15373 12905.1 2467.9 2535.4 -67.5
1981.3 19 10341 12641.3 -2300.3 -1452.8 -847.5
1981.4 20 11111 12205.5 -1094.5 -1343.3 248.8
1982.1 21 12985 11850.1 1134.9 244.5 890.4
1982.2 22 13397 11608.3 1788.7 2535.4 -746.7
1982.3 23 9474 11530.5 -2056.5 -1452.8 -603.7
1982.4 24 10043 11907.6 -1864.6 -1343.3 -521.3
1983.1 25 13431 12450.5 980.5 244.5 736
1983.2 26 15968 12824.3 3143.7 2535.4 608.3
1983.3 27 11246 13161.1 -1915.1 -1452.8 -462.3
1983.4 28 11261 13172.4 -1911.4 -1343.3 -568.1
1984.1 29 14908 12905.5 2002.5 244.5 1758
1984.2 30 14581 12736.5 1844.5 2535.4 -690.9
1984.3 31 10498 12182.3 -1684.3 -1452.8 -231.5
1984.4 32 10657 11738.1 -1081.1 -1343.3 262.2
1985.1 33 11078 11894.6 -816.6 244.5 -1061.1
1985.2 34 14858 12232.4 2625.6 2535.4 90.2
1985.3 35 11473 12788.6 -1315.6 -1452.8 137.2
1985.4 36 12384 13414.6 -1030.6 -1343.3 312.7
1986.1 37 13801 14047.3 -246.3 244.5 -490.8
1986.2 38 17143 14685.3 2457.7 2535.4 -77.7
1986.3 39 14249 14826.5 -577.5 -1452.8 875.3
1986.4 40 14712 14633.8 78.2 -1343.3 1421.5
1987.1 41 12603 14761 -2158 244.5 -2402.5
1987.2 42 16799 15038.3 1760.7 2535.4 -774.7
1987.3 43 15611 15204.5 406.5 -1452.8 1859.3
1987.4 44 15568 15301.1 266.9 -1343.3 1610.2
1988.1 45 7 13077 15157 -2080 244.5 -2324.5
1988.2 46 17098 14665.1 2432.9 2535.4 -102.5
1988.3 47 14159 14481.8 -322.8 -1452.8 1130
1988.4 48 13085 14514.5 -1429.5 -1343.3 -86.2
1989.1 49 14093 14155.9 -62.9 244.5 -307.4
1989.2 50 16344 13976.1 2367.9 2535.4 -167.5
1989.3 51 12044
1989.4 52 13762


La scomposizione viene inoltre illustrata graficamente. Si noti che la serie del trend stimato non presenta effettivamente alcuna fluttuazione stagionale. Cià conferma la scelta del filtro .

En folnode5 c k 1 3.gif