Fluctuation périodiques

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Jusqu’à présent, nous ne nous somme intéressé qu’à la détermination de la tendance d’une série temporelle. Des considérations sur la saisonnalité des séries sont apparues lors de la sélection du filtre adapté. On s’intéresse à présent à la composante saisonnière. Pour une meilleur compréhension, introduisons d’abord quelques définitions utiles.

  • Périodes : nombre d’occurences d’une saison.Exemple: Données trimestrielles sur 10 years:

  • Sous-intervalles de temps  Nombre de périodes dans un cycle

    Exemple : données trimestrielles :

  • Nombre de périodes :

  • Valeurs tendancielles :

  • Valeurs observées :

  • Composante irrégulière :

On fait la distinction entre modèle additifs et models multiplicatifs : Une relation additive entre tendance, saisonnalité et résidus caractérise les modèles additifs, alors que ces composantes sont multipliées dans le cas du modèle multiplicatif. Par conséquent, la détermination de la composante saisonnière n’est pas faite de la manière pour les deux modèles.

  • Modèle additif La valeur de la variable X expliquée par le modèle additif (AM) consiste en la somme de la tendance estimée et du coefficient saisonnier moyen .
  • Modèle multiplicatif La valeur de la variable X expliquée par le modèle multiplicatif (MM) est obtenue comme produit de la tendance estimée et du coefficient saisonnier moyen .

Exemple: Nombre de voitures immatriculées à Berlin entre le premier trimestre 1977 et le quatrième trimestre 1989. Modèle additif :Filtre : En rouge : série obervée en noir : série lissée (tendance)en bleu : tendance et composante saisonnière

somme
1 2,934 0,244 12
2 30,424 2,535 12
3 -17,434 -1,453 12
4 -16,120 -1,343 12

Fr folimg403.gif

Présentation Cet exemple est analogue à celui de l’exemple interactif avec la possibilité supplémentaire d’éditer le code XploRe correspondant. Présentation Vous pouvez sélectionner une série temporelle, qui est alors décomposée en tendance , composante siasonnière et résidus. Prêtez attention à la périodicité des données (intervalles de temps selon lesquels les données sont obtenues - eg. mensuellement). La tendance est estimée par une moyenne mobile. Vous avez le choix entre différents filtres . Suggestion Commencez par sélectionner un filtre qui vous semble approprié. Vérifiez sur le graphique obtenu que celui-ci permet de filtrer (d’annuler) la composante saisonnière des données. Prêtez également attention aux résidus. Y a-t-il des valeurs aberrantes ? Les fluctuations des résidus évoluent-elles au cours du temps ? Refaites le calcul et notez le résultat de l’utilisation de filtres différents. Données Vous pouvez sélectionner chacune des séries suivantes

  • Monnaie en circulation

    Quantité de monnaie en circulation en Allemagne. intervalle de temps considéré : Janvier 1968 - Mars 1998Periodicité : Données mensuelles

  • M3Monnaie M3: variation en % par rapport à la période préliminaire

    intervalle de temps considéré : Janvier 1956 - Mars 1998Periodicité : Données mensuelles

  • Balance des paiements

    Balance des paiements de l’Allemagne

    intervalle de temps considéré : 1977 – 1995 Periodicité : Données annuelles

  • Immatriculation de voitures

    Nombre de voitures immatriculées à Berlin

    tintervalle de temps considéré : 1/1977 - 4/1998 Periodicité : Données trimestrielles

  • Pluie

    Precipitations à Potsdamintervalle de temps considéré : Janvier 1984 - Janvier 1995Periodicité : Données mensuelles

Fr folnode5 c k 1 4.gif

Cet exemple imontre comment décomposer une série temporelle en une tendnace , une composante saisonnière et un vecteur de résidus . La modèle considéré se met sous la forme . A titre d’illustration, la méthode est appliquée à la série correspondant à l’évolution du nombre de voiture immatriculées à Berlin.

Tendance

On a introduit plus haut deux fa çon d’estimer la tendance : la méthode des moindres carrés et la moyenne mobile.On utilise ici cette dernière, la tendance étant estimée par la formule : Afin de s’affranchir des variation saisonnières, on applique le filtre à nos données trimestrielles. On pondère ainsi également futur et passé. Exemple:

Variation saisonnière

On déduit du modèle que . Le terme de gauche de cette équation est connu approximativement une fois la tendance estimée. Sous l’hypothèse que la variation saisonnière est trimestrielle (donc, par exemple, que : ), une procédure immédiate de détermination des coefficients saisonniers consiste à calculer les moyennes arithmétiques de toutes les différences , portant sur la même saison. Exemple: La même procédure peut être retenue indépendamment de la fa çon dont est estimée la tendance.

Résidus

Les résidus sont obtenus par .

Résultat de la décomposition de la série du nombre d’immatriculations

Essayez d’identifier les différentes étapes décrites ci-dessus à partir du résultat sur une période.

quartier
1977.1 1 15222
1977.2 2 17456
1977.3 3 12988 14897.9 -1909.9 -1452.8 -457.1
1977.4 4 13833 15127.8 -1294.8 -1343.3 48.5
1978.1 5 15407 15395.9 11.1 244.5 -233.4
1978.2 6 19110 15370.5 3739.5 2535.4 1204.1
1978.3 7 13479 15408.8 -1929.8 -1452.8 -477
1978.4 8 13139 15487.3 -2348.3 -1343.3 -1005
1979.1 9 16407 15246.3 1160.7 244.5 916.2
1979.2 10 18738 14891 3847 2535.4 1311.6
1979.3 11 11923 14663 -2740 -1452.8 -1287.2
1979.4 12 11853 14267.1 -2414.1 -1343.3 -1070.8
1980.1 13 15869 14058.5 1810.5 244.5 1566
1980.2 14 16109 14160.9 1948.1 2535.4 -587.3
1980.3 15 12883 13971.5 -1088.5 -1452.8 364.3
1980.4 16 11712 13707.8 -1995.8 -1343.3 -652.5
1981.1 17 14495 13298 1197 244.5 952.5
1981.2 18 15373 12905.1 2467.9 2535.4 -67.5
1981.3 19 10341 12641.3 -2300.3 -1452.8 -847.5
1981.4 20 11111 12205.5 -1094.5 -1343.3 248.8
1982.1 21 12985 11850.1 1134.9 244.5 890.4
1982.2 22 13397 11608.3 1788.7 2535.4 -746.7
1982.3 23 9474 11530.5 -2056.5 -1452.8 -603.7
1982.4 24 10043 11907.6 -1864.6 -1343.3 -521.3
1983.1 25 13431 12450.5 980.5 244.5 736
1983.2 26 15968 12824.3 3143.7 2535.4 608.3
1983.3 27 11246 13161.1 -1915.1 -1452.8 -462.3
1983.4 28 11261 13172.4 -1911.4 -1343.3 -568.1
1984.1 29 14908 12905.5 2002.5 244.5 1758
1984.2 30 14581 12736.5 1844.5 2535.4 -690.9
1984.3 31 10498 12182.3 -1684.3 -1452.8 -231.5
1984.4 32 10657 11738.1 -1081.1 -1343.3 262.2
1985.1 33 11078 11894.6 -816.6 244.5 -1061.1
1985.2 34 14858 12232.4 2625.6 2535.4 90.2
1985.3 35 11473 12788.6 -1315.6 -1452.8 137.2
1985.4 36 12384 13414.6 -1030.6 -1343.3 312.7
1986.1 37 13801 14047.3 -246.3 244.5 -490.8
1986.2 38 17143 14685.3 2457.7 2535.4 -77.7
1986.3 39 14249 14826.5 -577.5 -1452.8 875.3
1986.4 40 14712 14633.8 78.2 -1343.3 1421.5
1987.1 41 12603 14761 -2158 244.5 -2402.5
1987.2 42 16799 15038.3 1760.7 2535.4 -774.7
1987.3 43 15611 15204.5 406.5 -1452.8 1859.3
1987.4 44 15568 15301.1 266.9 -1343.3 1610.2
1988.1 45 7 13077 15157 -2080 244.5 -2324.5
1988.2 46 17098 14665.1 2432.9 2535.4 -102.5
1988.3 47 14159 14481.8 -322.8 -1452.8 1130
1988.4 48 13085 14514.5 -1429.5 -1343.3 -86.2
1989.1 49 14093 14155.9 -62.9 244.5 -307.4
1989.2 50 16344 13976.1 2367.9 2535.4 -167.5
1989.3 51 12044
1989.4 52 13762


Le résultat de la décomposition est représenté graphiquement ci-dessous. Notons que la tendance estimée ne contient plus de composante saisonnière. Ceci résulte de l’utilisation du filtre pour lisser notre série, à périodicité trimestrielle.

Fr folnode5 c k 1 3.gif