Fluctuaciones periódicas

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Hasta ahora, sólo se determinaba la tendencia a partir de los datos originales. Se debe tener encuenta información sobre la apariencia estacional de la serie en la selección del filtro adecuado. Ahora, también los componentes periódicos se van a calcular. Para una mejor comprensión, vamos a introducir algunas definiciones.

  • Periodos: p_i, \ i = 1, \dots, P Número de repeticiones de un ciclo.

Ejemplo: datos trimestrales de 10 años: P = 10

  • subintervalos de tiempo k_j, \ j = 1, \dots, k Número de periodos en un ciclo.

Ejemplo: datoos trimestrales: k = 4

  • Número de periodos : T = k \cdot P
  • Valores de la tendencia: \widehat x_{i,j}
  • Valores observados : x_{i,j}
  • Componente de fluctuación : s_{i,j}

Se diferencia entre modelos de series temporales aditivos y multiplicativos: Una relación aditiva entre la tendencia, el componente estacional y el residuo se considera se tiene en cuenta en un modelo aditivo, mientras esta relación será multiplicativa en un modelo multiplicativo. De acuerdo a esto, los cálculos del componente estacional serán distintos

  • Modelo aditivo de serie temporal s_{i,j} = x_{i,j} - \widehat x_{i,j}\, , \qquad
    \bar{s_j} = \frac{1}{P} \sum\limits_{i=1}^P s_{i,j}\ \text{a} \widehat x_{i,j}^{ZRM} = \widehat x_{i,j} + \bar{s_j} \ \text{pro } i = 1, \dots, P \ j = 1, \dots, k El valor pronosticado de la variable X debido al modelo de serie temporal (ZRM) consiste en la suma del valor de la tendencia \widehat x_{i,j} y la media del coeficiente estacional \bar{s_j}.
  • Modelo multiplicativo de una serie temporal s_{i,j} = \frac{x_{i,j}}{\widehat x_{i,j}}\, , \qquad
    \bar{s_j} = \frac{1}{P} \sum\limits_{i=1}^P s_{i,j}\ \text{a} \widehat x_{i,j}^{ZRM} = \widehat x_{i,j} \cdot \bar{s_j} \ \text{pro } i = 1, \dots, P \ j = 1, \dots, k El valor pronosticado de la variable X dado el modelo de serie temporal (ZRM) consiste en multiplicar el valor de la pendiente \widehat x_{i,j} por la media del coeficiente estacional \bar{s_j}.

Ejemplo: Número de nuevas matriculaciones en Berlin - 1. trimestre 1977 - 4. trimestre 1989 modelo aditivo de series temporales:
Filtro: [1/8\ 1/4\ 1/4\ 1/4\ 1/8]
rojo: serie de datos original
negro: serie alisada (tendencia)
azul: componente de tendencia y estacional

j sum \bar{s_j} P
1 2,934 0,244 12
2 30,424 2,535 12
3 -17,434 -1,453 12
4 -16,120 -1,343 12

Es folimg403.gif Explicación Este ejemplo es similar al ejemplo interactivo con la oportunidad adiccional de editar el código de XploRe directamente. Explicación Tu puedes seleccionar una serie temporal, que se va a descomponer en tendencia, componente estacional y residuos. Considera en tu selección en que frecuencia temporal se observan los datos (por ejemplo mensualmente). La tendencia se calcula mediante el método de medias móviles. Puedes elegir entre distintos filtros disponibles. Sugerencia En un primer paso selecciona un filtro, que te parezca razonable. Compara de acuerdo a la figura si el filtro que has elegido es un filtro adecuado para el componente estacional de los datos o no. Presta también atención a los residuos. ?’Existen valores extremos? ?’Cambian las fluctuaciones de los residuos a lo largo del tiempo? Repite los cálculos y presta atención a las consecuencias de aplicar nuevos filtros. Datos Puedes seleccionar una de las siguientes series temporales

  • Circulación de dinero

Cantidad de dinero en circulación en Alemania.
periodo: Enero 1968 - Marzo 1998
Periodicidad: datos mensuales

  • M3

Oferta monetaria M3: cambios en % respecto al periodo preliminar
periodo: Enero 1956 - Marzo 1998
Periodicidad: datos mensuales

  • Balanza de pagos

Balanza de pagos de Alemania
periodo: 1977 – 1995
Periodicidad: datos anuales

  • coches matriculados

número de coches matriculados en Berlin
periodo: 1/1977 - 4/1998
Periodicidad: datos trimestrales

  • Lluvia

Precipitaciones en Potsdam
periodo: Enero 1984 - Enero 1995
Periodicidad: datos mensuales Es folnode5 c k 1 4.gif Este ejemplo muestra, como se descompone una serie temporal x(t) en una tendencia T(t), un componente estacional S(t) y un vector de residuos e(t). El modelo considerado tiene la forma  x(t) = T(t) + S(t)
+ e(t). Para una ilustración aplicaremos el método a la matriculación de coches en Berlin.

Tendencia

Se han introducido anteriormente dos distintos procedimientos para la estimación de la tendencia: El método de mínimos cuadrados y el de medias móviles. Vamos a utilizar el segundo, donde la tendencia es calculada de acuerdo a T(t) = \sum_{i=-a}^b \lambda_i x_{t+i} \, , \ \text{with} \ \sum_{i=-a}^b \lambda_i =
1\, . A fin de quitar las variaciones estacionales, se aplica el filtro [1/8,
1/4, 1/4, 1/4, 1/8] a los datos trimestrales. Se valora tanto los datos futuros como anteriores (a = b) y se usa el mismo peso para todas las estaciones (en cada caso con 1/4). Ejemplo: T(3) = 1/8 \cdot x(1) + 1/4 \cdot x(2) + 1/4 \cdot x(3) + 1/4 \cdot x(4)
+ 1/8 \cdot x(5)

Variación estacional

Del modelo  x(t) = T(t) + S(t) + e(t) se obtiene x(t) - T(t) = S(t) + e(t). La parae izquierda de esta ecuación es conocida de la estimación de la tendencia. Bajo el supuesto de que la variación estacional en los respectivos trimestres tiene el mismo valor(por ejemplo: S(3) = S(7) =... = S(51)), un procedimiento obvio para el ajuste estacional es el cálculo de la media aritmética sobre todas las diferencias x(t) - T(t), que pertenecen a esa estación. Ejemplo: S(3) = S(7) = \dots = S(51) = [(x(3) - T(3)) + (x(7) - T(7)) + \dots +
(x(51) - T(51))] / 12 Para este proceso es insignificante, para el que este método es estimado.

Residuos

Se calculan los residuos estimados con e(t) = x(t) - T(t) - S(t).

Resultado de la descomposición de la serie temporal de matriculacón de vehiculos

Puedes comparar en la base de los resultados para el último periodo si puedes reconstruir el proceso descrito anteriormente o no.

trimestre t x(t) T(t) S(t) e(t)
1977.1 1 15222
1977.2 2 17456
1977.3 3 12988 14897.9 -1909.9 -1452.8 -457.1
1977.4 4 13833 15127.8 -1294.8 -1343.3 48.5
1978.1 5 15407 15395.9 11.1 244.5 -233.4
1978.2 6 19110 15370.5 3739.5 2535.4 1204.1
1978.3 7 13479 15408.8 -1929.8 -1452.8 -477
1978.4 8 13139 15487.3 -2348.3 -1343.3 -1005
1979.1 9 16407 15246.3 1160.7 244.5 916.2
1979.2 10 18738 14891 3847 2535.4 1311.6
1979.3 11 11923 14663 -2740 -1452.8 -1287.2
1979.4 12 11853 14267.1 -2414.1 -1343.3 -1070.8
1980.1 13 15869 14058.5 1810.5 244.5 1566
1980.2 14 16109 14160.9 1948.1 2535.4 -587.3
1980.3 15 12883 13971.5 -1088.5 -1452.8 364.3
1980.4 16 11712 13707.8 -1995.8 -1343.3 -652.5
1981.1 17 14495 13298 1197 244.5 952.5
1981.2 18 15373 12905.1 2467.9 2535.4 -67.5
1981.3 19 10341 12641.3 -2300.3 -1452.8 -847.5
1981.4 20 11111 12205.5 -1094.5 -1343.3 248.8
1982.1 21 12985 11850.1 1134.9 244.5 890.4
1982.2 22 13397 11608.3 1788.7 2535.4 -746.7
1982.3 23 9474 11530.5 -2056.5 -1452.8 -603.7
1982.4 24 10043 11907.6 -1864.6 -1343.3 -521.3
1983.1 25 13431 12450.5 980.5 244.5 736
1983.2 26 15968 12824.3 3143.7 2535.4 608.3
1983.3 27 11246 13161.1 -1915.1 -1452.8 -462.3
1983.4 28 11261 13172.4 -1911.4 -1343.3 -568.1
1984.1 29 14908 12905.5 2002.5 244.5 1758
1984.2 30 14581 12736.5 1844.5 2535.4 -690.9
1984.3 31 10498 12182.3 -1684.3 -1452.8 -231.5
1984.4 32 10657 11738.1 -1081.1 -1343.3 262.2
1985.1 33 11078 11894.6 -816.6 244.5 -1061.1
1985.2 34 14858 12232.4 2625.6 2535.4 90.2
1985.3 35 11473 12788.6 -1315.6 -1452.8 137.2
1985.4 36 12384 13414.6 -1030.6 -1343.3 312.7
1986.1 37 13801 14047.3 -246.3 244.5 -490.8
1986.2 38 17143 14685.3 2457.7 2535.4 -77.7
1986.3 39 14249 14826.5 -577.5 -1452.8 875.3
1986.4 40 14712 14633.8 78.2 -1343.3 1421.5
1987.1 41 12603 14761 -2158 244.5 -2402.5
1987.2 42 16799 15038.3 1760.7 2535.4 -774.7
1987.3 43 15611 15204.5 406.5 -1452.8 1859.3
1987.4 44 15568 15301.1 266.9 -1343.3 1610.2
1988.1 45 7 13077 15157 -2080 244.5 -2324.5
1988.2 46 17098 14665.1 2432.9 2535.4 -102.5
1988.3 47 14159 14481.8 -322.8 -1452.8 1130
1988.4 48 13085 14514.5 -1429.5 -1343.3 -86.2
1989.1 49 14093 14155.9 -62.9 244.5 -307.4
1989.2 50 16344 13976.1 2367.9 2535.4 -167.5
1989.3 51 12044
1989.4 52 13762

Finalmente, el resultado de la descomposición se muestra gráficamente. Ver que la serie de tendencia estimada  T(t) no contiene las variaciones estacionales. Esto admite la selección del filtro [1/8, 1/4, 1/4, 1/4, 1/8] para alisar series temporales para datos trimestrales. Es folnode5 c k 1 3.gif