Variaciones

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Todo grupo de k elementos elegidos de un conjunto de n elementos en el cual tiene importancia ordenar los elementos, se denomina una variación de orden k de n elementos.

Variaciones con repetición

Una variación con repetición es aquella variación en la que cada elemento puede ser representado varias veces. El número de posible variaciones de orden k de n elementos con repetición se denomina aquí por V^W(n;k) y se calcula como V^W(n;k) = n^k Ejemplos con elementos , y (n=3):

  • Para k=1 es V^W(3;1) = 3^1 = 3.

Las posibles variaciones son:

  • Para k=2 es V^W(3;2) = 3^2 = 9 y las variaciones son:



  • Para k=3 es V^W(3;3) = 3^3 = 27, las variaciones son:









Variaciones sin repetición

En este tipo de variaciones, cada elemento (del conjunto de todos los n elementos) puede estar en la variación únicamente una vez. El número de posibles variaciones de orden k de n elementos sin repetición se denota como V(n;k) y es igual V(n;k) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+2)
\cdot (n-k+1) = \frac{n\,!}{(n-k)\,!} Ejemplos con elementos , y (n=3)

  • Para k=1 es V(3;1) = 3\,! / 2\,! = 3.

Las tres posibles variaciones son:

  • Para k=2 es V(3;2) = 3\,! / 1\,! = 6 y las variaciones son:


  • Para k=3 es V(3;3) = 3\,! / 1\,0! = 6, las seis posibles variaciones son:


Todo el mundo conoce el tipico – maletín que para abrirle hay que meter un código. Y varios pueden recordar la siguiente situación, cuando el vecino no tiene nada que hacer y cambia el código, y tras un tiempo, ya no se acuerda del nuevo código. Imagina que quieres abrir el maletín pero que no sabes el número, por lo tanto, la pregunta es ?‘cuántos números (es decir, series de digitos) se tienen que probar en el peor de los casos? En muchos casos, la cerradura tiene tres dígitos y cada uno puede estar entre 0 o 9. Por lo tanto, es una elección de tres dígitos (k elementos) de 10 (todos los n elementos). Claramente, la ordenación de los dígitos influye – la secuencia 462 tiene un efecto diferente (es posible que habrá el maletín) que las secuencia 264 o 426. Estos dos elementos de información (k elementos de un total de n elementos y la importancia del orden) indican que las variaciones son la solución correcta a este problema. (Por favor, sea consciente del hecho de que el uso del término “combinación númerica” es realmente incorrecto, es variación númerica) También es necesario decidir entre variaciones con o sin repetición: cada dígito puede ser igual a cualquier valor entre 0 y 9, es decir, que una secuencia como 666 es posible. Por lo tanto el concepto correcto es variaciones con repetición. k=3 \qquad n = 10 \ \text{(0 a 9)} V^W = (n,k) = n^k V^W = (10,3) = 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000 Una cerradura de tres dígitos (con dígitos 0–9) tiene 1000 posibles variaciones.
Si se tardan 2 segundos en introducir cada secuencia, serán necesarios en el peor de los casos 33.33 minutos para abrir el maletín.