Distribuição Uniforme

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Distribuição Uniforme Discreta

Uma variável aleatória discreta $X$ com um número finito de resultados $x_{i}\ (i=1,2,\dots ,n)$ é chamada de distribuição uniforme, se cada valor de $X$ puder ocorrer com uma probabilidade igual, que depende de $n$. A função densidade de probabilidade (PDF) de uma variável aleatória uniforme é: $f(x_{i})=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{n}}\quad &{\text{for}}\ i=1,\dots ,n\\&\\0\quad &{\text{otherwise}}\end{array}}\right.$ A função de distribuição para uma variável aleatória uniforme é: $F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0\quad &{\text{for}}\ x<x_{1}\\&\\{\frac {i}{n}}\quad &{\text{for}}\ x_{i}\leq x\leq x_{i+1};i=1,\dots n-1\\&\\1\quad &{\text{for}}\ x_{n}\leq x\end{array}}\right.$ O valor esperado e a variância da variável aleatória uniforme discreta $X$ são: $E(X)=\mu ={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$ $Var(X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}$

Distribuição Uniforme Contínua

Uma variável aleatória contínua $X$ no intervalo [a,b] tem distribuição uniforme se cada ponto neste intervalo tiver uma probabilidade igual de ocorrer; a função densidade irá ter a seguinte forma: $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{b-a}}\quad &{\text{for}}\ a\leq x\leq b\\&\\0\quad &{\text{otherwise}}\end{array}}\right.$ A função de distribuição para uma variável aleatória uniforme contínua é: $F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0\quad &{\text{for}}\ x<a\\&\\{\frac {x-a}{b-a}}\quad &{\text{for}}\ a\leq x\leq b\\&\\1\quad &{\text{for}}\ b\leq x\end{array}}\right.$ O valor esperado e a variância de variáveis aleatórias uniformes contínuas são: $E(X)={\frac {b+a}{2}}$ $Var(X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$ Os parâmetros de uma distribuição uniforme contínua são $a$ e $b$.

Um homem desce em uma parada de bonde, mas não sabe o horário do mesmo. O bonde chega nesta parada à cada 20 minutos. Defina a variável aleatória $X$: ”tempo de espera pelo bonde em minutos”. Esta variável aleatória pode assumir qualquer valor dentro do intervalo [0,20]. Isto significa que: P(0 $\leq$ X $\leq$ 20) = 1, a = 0, b = 20. A variável aleatória $X=\{$tempo de espera$\}$ terá uma distribuição uniforme. Densidade de $X$: $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{20}}\quad &{\text{for}}\ 0<x\leq b\\&\\0\quad &{\text{otherwise}}\end{array}}\right.$ Função de Distribuição: $F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0\quad &{\text{for}}\ x<0\\&\\{\frac {1}{20}}\cdot x\quad &{\text{for}}\ 0\leq x\leq 20\\&\\1\quad &{\text{otherwise}}\end{array}}\right.$ O valor esperado de $X$ é:

$E(X)=$	$\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int \limits _{0}^{20}x{\frac {1}{20}}\,dx$
	${\frac {1}{20}}\left[{\frac {1}{20}}x^{2}\right]_{0}^{2}0={\frac {1}{20}}\left[{\frac {1}{2}}20^{2}-{\frac {1}{2}}0^{2}\right]=10$

Em média, uma pessoa terá que aguardar 10 minutos pelo bonde. A variância é:

$Var(X)$	$=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx=\int \limits _{0}^{20}(x-10)^{2}\cdot {\frac {1}{20}}\,dx$
	$={\frac {1}{20}}\int \limits _{0}^{20}(x^{2}-20x+100)\,dx$
	$={\frac {1}{20}}\left[{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}20x^{2}+100x\right]$
	$={\frac {1}{20}}\left[{\frac {1}{3}}20^{3}-{\frac {1}{2}}20^{3}+100\cdot 20\right]=33.33$

Desvio-padrão: $\sigma$ = 5.77 .A densidade e a função de distribuição parecem da seguinte forma:

Distribuição Uniforme Discreta

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória uniforme discreta pode ser ilustrada com um histograma. A função de distribuição desta variável aleatória, por outro lado, será uma função degrau. Um exemplo comum de variável aleatória uniforme discreta são os resultados associados com o rolar de uma dado não-viciado. A variável aleatória discreta X (= resultado do lançamento) pode assumir números inteiros entre 1 e 6. Se o dados for ”não-viciado”, a probabilidade de cada resultado de $X$ é $f(x_{i})=1/6,i=1,\dots ,6.$

Distribuição Uniforme Contínua

Vamos verificar se $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{b-a}}\quad &{\text{for}}\ a\leq x\leq b\\&\\0\quad &{\text{otherwise}}\end{array}}\right.$ é uma função densidade: Primeiramente, $b>a$ , logo f(x) $\geq$ 0 para todos os x, ou seja, a função é não-negativa. Além disto nós temos: $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {1}{b-a}}\,dx=\left[{\frac {x}{b-a}}\right]_{a}^{b}={\frac {b-a}{b-a}}=1.$ Isto indica que f(x) é uma densidade. A função de distribuição F(x) pode ser computada como: $F(x)=\int \limits _{a}^{x}{\frac {1}{b-a}}\,dv=\left[{\frac {v}{b-a}}\right]_{a}^{x}={\frac {x-a}{b-a}}$ O valor esperado e a variância para esta variável aleatória são: $E(X)=\int \limits _{a}^{b}x{\frac {1}{b-a}}\,dx=\left[{\frac {x^{2}}{2(b-a)}}\right]_{a}^{b}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {(b-a)(b+a)}{2(b-a)}}={\frac {(b+a)}{2}}$ $Var(X)=\int \limits _{a}^{b}x^{2}{\frac {1}{b-a}}\,dx-\left({\frac {(b+a)}{2}}\right)^{2}=\left[{\frac {x^{3}}{3(b-a)}}\right]_{a}^{b}-\left({\frac {(b+a)}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}-{\frac {b+a}{4}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$ O seguinte diagrama ilusta a densidade e a função de distribuição de uma variável aleatória uniforme contínua: Densidade:

Função de distribuição: