La distribuzione uniforme

English

Português

Français

‎Español

Italiano

Nederlands

La distribuzione uniforme discreta

Una variabile casuale discreta X con un numero finito di possibili risultati $x_{i}\ (i=1,2,\dots ,n)$ à detta una distribuzione uniforme se ciascun risultato di X ha un’ uguale probabilità di verificarsi. La distribuzione discreta uniforme dipende quindi da n. La funzione di probabilità di una distribuzione uniforme discreta ha le seguenti proprietà: $f(x_{i})=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{n}}\quad &{\text{per}}\ i=1,\dots ,n\\\\0\quad &{\text{altrimenti}}\end{array}}\right.$ La funzione di ripartizione di una distribuzione uniforme discreta ha le seguenti proprietà: $F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0\quad &{\text{per}}\ x<x_{1}\\\\{\frac {i}{n}}\quad &{\text{per}}\ x_{i}\leq x\leq x_{i+1};i=1,\dots n-1\\\\1\quad &{\text{per}}x_{n}\leq x\end{array}}\right.$ La media e la varianza sono: $E(X)=\mu ={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$ $Var(X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}$

La distribuzione uniforme continua

La variabile casuale continua X, definita nell’intervallo [a,b], à detta uniforme se la sua densità di probabilità ha la seguente forma: $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{b-a}}\quad &{\text{per}}\ a\leq x\leq b\\\\0\quad &{\text{altrimenti}}\end{array}}\right.$ La funzione di ripartizione di distribuzioni uniformi continue à: $F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0\quad &{\text{per}}\ x<a\\\\{\frac {x-a}{b-a}}\quad &{\text{per}}\ a\leq x\leq b\\\\1\quad &{\text{per}}\ b\leq x\end{array}}\right.$ La media and varianza sono: $E(X)={\frac {b+a}{2}}$ $Var(X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$ La distribuzione continua uniforme dipende dai parametri $a$ e $b$.

Una persona attende alla fermata del tram senza sapere l’ora ma sapendo che il tram passa ogni 20 minuti. La variabile casuale X: “tempo di attesa del tram in minuti” puà assumere qualsiasi valore nell’intervallo [0,20], supponendo che il tram non arrivi in anticipo o in ritardo. Cià significa che: P(0 $\leq$ X $\leq$ 20) = 1, a = 1, b = 20. Se la persona arriva in trenta secondi alla fermata puramente a caso, ovvero senza osservare l’orario di arrivo del tram, allora la variabile continua $X=\{$tempo di attesa$\}$ puà essere considerata uniforme. La densità di probabilità di X à: $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{20}}\quad &{\text{per}}\ 0<x\leq b\\\\0\quad &{\text{altrimenti}}\end{array}}\right.$ La funzione di ripartizione à: $F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0\quad &{\text{per}}\ x<0\\\\{\frac {1}{20}}\cdot x\quad &{\text{per}}\ 0\leq x\leq 20\\\\1\quad &{\text{altrimenti}}\end{array}}\right.$ Il valore atteso di X à:

$E(X)=$	$\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int \limits _{0}^{20}x{\frac {1}{20}}\,dx$
	${\frac {1}{20}}\left[{\frac {1}{20}}x^{2}\right]_{0}^{2}0={\frac {1}{20}}\left[{\frac {1}{2}}20^{2}-{\frac {1}{2}}0^{2}\right]=10$

Quindi una persona che non conosce gli orari dei tram, attenderà in media 10 minuti. La varianza à: ll $Var(X)$ & $=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx=\int \limits _{0}^{20}(x-10)^{2}\cdot {\frac {1}{20}}\,dx$

& $={\frac {1}{20}}\int \limits _{0}^{20}(x^{2}-20x+100)\,dx$

& $={\frac {1}{20}}\left[{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}20x^{2}+100x\right]$

& $={\frac {1}{20}}\left[{\frac {1}{3}}20^{3}-{\frac {1}{2}}20^{3}+100\cdot 20\right]=33.33$
La deviazione standard à: $\sigma$ = 5.77 .
La densità di probabilità e la funzione di ripartizione sono le seguenti:

La distribuzione uniforme discreta

La rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità di una variabile uniforme discreta à data da un grafico a linee mentre per la funzione di ripartizione abbiamo una funzione a gradini. Un esempio tipico di una distribuzione uniforme discreta à il lancio effettuato una volta di un dado. La variabile casuale discreta X (= risultato del tiro) puà assumere solo i numeri tra 1 e 6 ciascuno dei quali ha un’uguale probabilità $f(x_{i})=1/6,i=1,\dots ,6.$

La distribuzione uniforme continua

Verifichiamo che la seguente funzione rappresenta una densità di probabilità: $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{b-a}}\quad &{\text{per}}\ a\leq x\leq b\\\\0\quad &{\text{altrimenti}}\end{array}}\right.$ Dato che $b>a$ , f(x) $\geq$ 0 per tutte le x, e quindi la funzione assume valori reali. Inoltre abbiamo: $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {1}{b-a}}\,dx=\left[{\frac {x}{b-a}}\right]_{a}^{b}={\frac {b-a}{b-a}}=1.$ la funzione à una densità. La funzione di ripartizione F(x) puà essere calcolata come segue: $F(x)=\int \limits _{a}^{x}{\frac {1}{b-a}}\,dv=\left[{\frac {v}{b-a}}\right]_{a}^{x}={\frac {x-a}{b-a}}$ Media e varianza sono: $E(X)=\int \limits _{a}^{b}x{\frac {1}{b-a}}\,dx=\left[{\frac {x^{2}}{2(b-a)}}\right]_{a}^{b}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {(b-a)(b+a)}{2(b-a)}}={\frac {(b+a)}{2}}$ $Var(X)=\int \limits _{a}^{b}x^{2}{\frac {1}{b-a}}\,dx-\left({\frac {(b+a)}{2}}\right)^{2}=\left[{\frac {x^{3}}{3(b-a)}}\right]_{a}^{b}-\left({\frac {(b+a)}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}}-{\frac {b+a}{4}}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}$ I seguenti grafici mostrano la densità di probabilità e la funzione di ripartizione di una distribuzione uniforme continua. Densità:

Funzione di ripartizione: