La distribuzione uniforme discreta
Una variabile casuale discreta X con un numero finito di possibili risultati
à detta una distribuzione uniforme se ciascun risultato di X ha un’ uguale probabilità di verificarsi. La distribuzione discreta uniforme dipende quindi da n.
La funzione di probabilità di una distribuzione uniforme discreta ha le seguenti proprietà:
La funzione di ripartizione di una distribuzione uniforme discreta ha le seguenti proprietà:
La media e la varianza sono:
La distribuzione uniforme continua
La variabile casuale continua X, definita nell’intervallo [a,b], à detta uniforme se la sua densità di probabilità ha la seguente forma:
La funzione di ripartizione di distribuzioni uniformi continue à:
La media and varianza sono:
La distribuzione continua uniforme dipende dai parametri
e
.
Una persona attende alla fermata del tram senza sapere l’ora ma sapendo che il tram passa ogni 20 minuti. La variabile casuale X: “tempo di attesa del tram in minuti” puà assumere qualsiasi valore nell’intervallo [0,20], supponendo che il tram non arrivi in anticipo o in ritardo. Cià significa che: P(0
X
20) = 1, a = 1, b = 20.
Se la persona arriva in trenta secondi alla fermata puramente a caso, ovvero senza osservare l’orario di arrivo del tram, allora la variabile continua
tempo di attesa
puà essere considerata uniforme.
La densità di probabilità di X à:
La funzione di ripartizione à:
Il valore atteso di X à:
|
|
|
|
Quindi una persona che non conosce gli orari dei tram, attenderà in media 10 minuti.
La varianza à:
ll
& 
& 
& ![{\displaystyle ={\frac {1}{20}}\left[{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}20x^{2}+100x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d8c096d35e06086a3e953138b443783c0d5f4f1)
& ![{\displaystyle ={\frac {1}{20}}\left[{\frac {1}{3}}20^{3}-{\frac {1}{2}}20^{3}+100\cdot 20\right]=33.33}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd105f32692a4bb3f99a958e9740c5fe99e8e3a)
La deviazione standard à:
= 5.77 .
La densità di probabilità e la funzione di ripartizione sono le seguenti:
La distribuzione uniforme discreta
La rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità di una variabile uniforme discreta à data da un grafico a linee mentre per la funzione di ripartizione abbiamo una funzione a gradini.
Un esempio tipico di una distribuzione uniforme discreta à il lancio effettuato una volta di un dado. La variabile casuale discreta X (= risultato del tiro) puà assumere solo i numeri tra 1 e 6 ciascuno dei quali ha un’uguale probabilità
La distribuzione uniforme continua
Verifichiamo che la seguente funzione rappresenta una densità di probabilità:
Dato che
, f(x)
0 per tutte le x, e quindi la funzione assume valori reali. Inoltre abbiamo:
la funzione à una densità.
La funzione di ripartizione F(x) puà essere calcolata come segue:
Media e varianza sono:
I seguenti grafici mostrano la densità di probabilità e la funzione di ripartizione di una distribuzione uniforme continua.
Densità:
Funzione di ripartizione: