Loi uniforme

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Loi uniforme discrète

Une variable aléatoire discrète X susceptible de prendre un nombre fini de valeurs est répartie selon une loi uniforme si chacune de ses valeurs possibles est ibtenue avec la même probabilité . La loi uniforme discrète est paramétrée par . La fonction de masse de la loi uniforme discrète vérifie les propriétés suivantes : La fonction de répartition de la loi uniforme discrète vérifie : L’espérance et la variance d’une variable aléatoire X de loi uniforme discrète sont données par :

Loi uniforme continue

Une variable aléatoire continue X est de loi uniforme dans l’intervalle [a,b], si sa fonction de densité est de la forme : La fonction de répartition d’une variable aléatoire de loi uniforme continue vérifie : L’espérance et la variance d’une variable aléatoire X de loi uniforme continue sontdonnées par : La loi uniforme continue est paramétrée par et .

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Un homme se présente à un arrêt de tramway, sans connaître l’heure. Le tramway passe toutes le vingt minutes. Définissons une variable aléatoire X : “temps d’attente anticipé en minutes”; celle-ci peut prendre n’importe quelle valeur dans l’intervalle [0,20]. Ceci implique que : P(0 X 20) = 1, a = 1, b = 20. Pour l’homme à l’arrêt de tramway, celui-ci peut passer à n’importe quel moment. La variable temps d’attente anticipé par un usager ignorant de l’heure est uniformément distribuée sur . Densité de X: Fonction de répartition: Espérance de X :

Pour un usager du tramway ignorant de l’heure, le temps d’attente anticipé moyen est de 10 minutes. Variance :

Ecart-type : = 5.77 .Aspects des fonctions de densité et de répartition :

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Loi uniforme discrète

La fonction de masse de la loi uniforme discrète peut être représentée par une table de probabilités. La fonction de répartition de la loi uniforme discrète est une fonction en escaliers. Un exemple typique de variable aléatoire X de distribution uniforme discrète est le résultat d’un lancer d’un dé non pipé. Celui-ci est un entier compris entre 1 et 6. Le dé étant non pipé, chaque valeur a la même probabilité d’apparaître :

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Loi uniforme continue

Vérifions que est une fonction de densité : b > a , f(x) 0 pour tout x, i.e. la fonction est positive. de plus, nous avons : La fonction f(x) est une fonction de densité. La fonction de répartition F(x) est obtenue de la façon suivante : L’espérance et la variance sont données par : Les formes des fonctions de densité et de répartition d’une loi uniforme continue sont les suivantes : Fonction de densité:

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Fonction de répartition :

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