Distribución uniforme

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Distribución uniforme discreta

Una variable aleatoria discreta X con un número finito de ocurrencias  x_i\ ( i =1,2, \dots ,n) se le denomina distribución uniforme, si cada valor de X puede ocurrir con una probabilidad igual. La distribución uniforme discreta depende de n. Para la función de probabilidad de una distribución uniforme discreta, se cumplen las siguientes propiedades: f(x_i) = \left\{
        \begin{array}{ll}
                \frac{1}{n} \quad & \text{para} \ i = 1, \dots ,n\\
                \\
                0 \quad & \text{en otro caso}
        \end{array} \right. Para la función de distribución de la distribución uniforme discreta, se cumplen las siguientes propiedades: F(x) = \left\{
        \begin{array}{ll}
                0 \quad & \text{para}\ x < x_1\\
                \\
                \frac{i}{n} \quad & \text{para}\ x_i \leq x \leq x_{i+1} ; i =
1, \dots n-1\\
                \\
                1 \quad & \text{para} x_n \leq x
    \end{array} \right. El valor esperado y la varianza de una distribución discreta uniforme de la variable aleatoria X es: E(X) = \mu = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i Var(X) = \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2

Distribución uniforme continua

La variable aleatoria continua X se dice que tiene una distribución uniforme con los valores en el intervalo [a,b], si su densidad tiene la siguiente forma: f(x) = \left\{
        \begin{array}{ll}
                \frac{1}{b - a} \quad & \text{para}\ a \leq x \leq b \\
                \\
                0 \quad & \text{en otro caso}
        \end{array} \right. La función de distribución de una variable uniforme continua es: F(x) = \left\{
        \begin{array}{ll}
                0 \quad & \text{para}\ x < a\\
                \\
                \frac{x - a}{b - a} \quad & \text{para}\ a \leq x \leq b \\
                \\
                1 \quad & \text{para}\ b \leq x
    \end{array} \right. El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria continua X con distribución uniforme es: E(X) = \frac{b + a}{2} Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12} Los parámetros de una distribución continua son a y b.

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Un hombre llega a la parada del tranvía, sin tener ni idea del horario del tren. El tranvía pasa a intervalos de 20 minutos. La variable aleatoria X: “tiempo de espera de un tranvía en minutos” puede tomar cualquier valor entre [0,20], suponiendo que el tranvía llega de acuerdo a su horario. Esto implica: P(0 \leq X \leq 20) = 1, a = 1, b = 20. Podemos considerar a la variable X=\{tiempo de espera\} como uniformemente distribuida. La densidad de X: f(x) = \left\{
        \begin{array}{ll}
                \frac{1}{20} \quad & \text{para}\ 0 < x \leq b \\
                \\
                0 \quad & \text{en otro caso}
        \end{array} \right. La función de distribución: F(x) = \left\{
        \begin{array}{ll}
                0 \quad & \text{para}\ x < 0\\
                \\
                \frac{1}{20} \cdot x \quad & \text{for}\ 0 \leq x \leq 20 \\
                \\
                1 \quad & \text{en otro caso}
    \end{array} \right. El valor esperado de X es:

 E(X) =  \int\limits_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx = \int\limits_0^{20} x
\frac{1}{20}\,dx
 \frac{1}{20} \left[ \frac{1}{20}x^2 \right]_0^20 = \frac{1}{20} \left[
\frac{1}{2}20^2 -
\frac{1}{2}0^2 \right] = 10

De promedio, una persona esperará al tranvía una media de 10 minutos. La varianza es: ll Var(X) &  = \int\limits_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2f(x)\,dx =
\int\limits_0^{20} (x - 10)^2 \cdot \frac{1}{20}\,dx

&  = \frac{1}{20} \int\limits_0^{20} (x^2 - 20x + 100)\,dx

&  = \frac{1}{20} \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}20x^2 + 100x \right]

&  = \frac{1}{20} \left[ \frac{1}{3}20^3 - \frac{1}{2}20^3 + 100 \cdot 20
\right] = 33.33
La desviación típica: \sigma = 5.77 .
La densidad y la función de distribución tienen la siguiente forma:

Es s2 21 f 5.gif Es s2 21 f 6.gif

Distribución Uniforme Discreta

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta uniforme se puede mostrar mediante un histograma. Por otra parte, la función de distribución de esta variable aleatoria tiene que ser una función escalón. Un ejemplo típico de una variable aleatoria uniforme discreta son los resultados asociados al lanzamiento de un dado perfecto. La variable aleatoria discreta X (= resultado del lanzamiento) puede tomar números enteros entre 1 y 6. De acuerdo con el supuesto de “perfección” del dado, la probabilidad de cada valor X es igual a f(x_i)
= 1/6 , i = 1,
\dots ,6.

Es s2 21 m 1.gif Es s2 21 m 2.gif

Distribución Uniforme Continua

Vamos a verificar que f(x) = \left\{
        \begin{array}{ll}
                \frac{1}{b - a} \quad & \text{para}\ a \leq x \leq b \\
                \\
                0 \quad & \text{otro caso}
        \end{array} \right. es una densidad: b > a , f(x) \geq 0 para todo x, es decir, la función es no negativa. Más aún, tenemos: \int\limits_{- \infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int\limits_a^b \frac{1}{b -
a}\,dx = \left[ \frac{x}{b - a} \right]_a^b
= \frac{b - a}{b - a} = 1. La función f(x) es una densidad. La función de distribución F(x) puede ser calculada de la siguiente forma: F(x) = \int\limits_a^x \frac{1}{b - a}\,dv = \left[ \frac{v}{b - a}
\right]_a^x = \frac{x - a}{b - a} El valor esperado y la varianza: E(X) = \int\limits_a^b x \frac{1}{b - a}\,dx = \left[ \frac{x^2}{2(b - a)}
\right]_a^b =
\frac{b^2 - a^2}{2(b - a)} = \frac{(b - a)(b + a)}{2(b - a)} = \frac{(b +
a)}{2} Var(X) = \int\limits_a^b x^2 \frac{1}{b - a}\,dx - \left( \frac{(b + a)}{2}
\right)^2 =
\left[ \frac{x^3}{3(b - a)} \right]_a^b - \left( \frac{(b + a)}{2} \right)^2 =
\frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} -
\frac{b + a}{4} = \frac{(b - a)^2}{12} El siguiente diagrama muestra la función de densidad y distribución de una variable aleatoria continua uniforme. Densidad:

Es s2 21 m 8.gif

Función de distribución:

Es s2 21 m 9.gif