Il teorema delle probabilità totali e il teorema di Bayes.

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Nel capitolo abbiamo scomposto lo spazio degli eventi negli eventi che soddisfano le condizioni:

Teorema delle probabilità totali

Se sono una scomposizione di allora per ogni evento con vale: Abbiamo utilizzato il teorema delle probabilità composte: .

Il teorema di Bayes

Siano una scomposizione di quindi per ogni evento con e le relative probabilità condizionate abbiamo: Su questo teorema si basa tutta la statistica bayesiana; in questo contesto si indica come proprietà a posteriori e come proprietà a priori. Il problema di Monty Hall, prende il nome del moderatore (Monty Hall appunto) della trasmissione quiz a premi “Let’s make a deal” e presenta una tale situazione: Il moderatore mostra al concorrente 3 porte, dietro una delle quali à nascosto un super-premio. Le altre due invece nascondono solo un premio di consolazione. Supponiamo che il super-premio sia dietro alla porta 2. Il concorrente quindi deve scegliere una porta. Dopo che il concorrente ha fatto la sua scelta (diciamo la porta 1), Monty Hall apre una delle altre due porte non scelte che non nasconde il super-premio (per esempio la porta 3) e chiede se il concorrente vuole ancora aprire la porta inizialmente scelta (porta 1) o magari scegliere l’altra (porta 2). Qual’à la probabilità (dalla perspettiva del concorrente) che il super-premio si trovi dietro la porta scelta inizialmente? Grazie a questo esempio interattivo lo studente puà giocare con il nostro “Monty virtuale” e calcorare la frequenza relativa di una vincita in relazione alla strategia di gioco. Secondo la definizione statistica di probabilità si otterrà, se si ripete il gioco pià volte, una risposta approssimativa alla domanda posta pià sopra.

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Soluzione:
Definiamo gli eventi: Quando si sceglie una porta per la prima volta, tutte e tre le porte hanno la stessa probabilità di nascondere il super-premio, ovvero Queste probabilità sono valide prima che Monty apra un’altra porta; possono quindi essere chiamate probabilità a priori. Supponiamo che lo studente scelga la porta A e il conduttore della trasmissione apre una delle altre porte che non nasconde il super-premio. A questo punto possono essere identificate due situazioni:

  • Situazione 1

    Il premio à dietro la porta scelta (A) e quindi Monty puà aprire le porte B o C. Supponiamo che questa decisione sia casuale e che quindi ogni porta ha una probabilità di 1/2 di essere aperta.

  • Situazione 2

    Il premio non à dietro alla porta scelta ma dietro B o C. Monty dovrà quindi aprire la porta dietro la quale non à nascosto il super-premio (probabilità dell’1 per cento).

Supponiamo che Monty apra la porta B. Matematicamente cià significa: Come concorrente lo studente perà non sa in quale situazione si trova. Lo studente puà ora decidere se scegliere ancora la porta A o cambiare e scegliere la porta C. Quale porta (A o C) ha pià probabilità di nascondere il premio dato che Monty ha aperto la porta B? Cerchiamo quindi le probabilità e . Le probabilità a priori sono . Dopo che Monty apre la porta possiamo calcolare le probabilità a posteriori usando il teorema di Bayes e il teorema delle probabilità totali: Teorema delle probabilità totali: Teorema di Bayes: Quindi conviene cambiare porta! Descrizione dell’esempio interattivo:
In questo esempio lo studente puà scegliere il numero della ripetizione del gioco , il numero dei sei usciti e la probabilità di ottenere un sei utilizzando un dado truccato. Inserendo questi dati si otterrà la probabilità che il dado usato sia truccato Si legga la storia del gioco attantamente prima di incominciare l’esempio interattivo!
La storia:
Un fratello e due sorelle giocano a dadi: il fratello consegna alle due sorelle un dado a ciascuna. Le sorelle devono poi tirare una dopo l’altra il dado volte. Chi ottiene pià sei vince. Le sorelle perà sanno che uno dei dadi à truccato e con tale dado si ottiene un sei con la probabilità di mentre gli altri risultati sono equiprobabili. La prima sorella lancia il dado volte e ottiene sei. Cerca quindi di capire grazie a queste informazioni e prima che la seconda sorella lanci il suo dado, qual’à la probabilità che lei abbia il dado truccato. Prima di tutto osserviamo il numero di sei ottenuto. I risultati possibili sono: . Consideriamo l’ipotesi in cui e il dado non à truccato (). Siccome ogni lancio à indipendente dagli altri otteniemo: Il fattore per P(X=1|W=0) (e P(X=2|W=0)) appare perchà ci sono tre possibilità in cui puà risultare un sei. Per lo stesso esperimento con un dado truccato si ottiene: Supponiamo che la prima sorella abbia ottenuto due sei () tirando il dado due volte. Qual’à la probabilità che abbia giocato con un dado truccato? Cerchiamo quindi . Applicando il teorema di Bayes abbiamo: Sostituendo abbiamo il numeratore e il denominatore quindi la probabilità à . Proposta:
Si scelga altri parametri (numero dei sei), (numero dei lanci) e (probabilità di un sei se il dado à truccato) e si osservino i risultati . In particolare per vedere l’effetto di un diverso parametro à consigliabile cambiare un solo parametro per volta. Il per cento della popolazione à infetta da un virus che si manifesta in malattia solo dopo un lungo periodo di incubazione. Le analisi effettuate attraverso un test identificano come positivi il per cento gli infetti e il per cento della popolazione sana. Qual’à la probabilità che una persona risultata positiva al test sia effettivamente infetta? Formalizzando il problema si possono distinguere i due eventi infezione e test: Conosciamo inoltre le seguenti probabilità:

Cerchiamo: . L’utilizzo dell’assioma della probabilità condizionata non à possibile in quanto non conosciamo tutte le probabilità necessarie possiamo perà riscrivere il numeratore con dati che abbiamo e otteniamo Il denominatore puà essere calcolato utilizzando il teorema delle probabilità totali: quindi otteniamo Il risultato quindi contiene il teorema di Bayes. Inserendo i dati dell’esempio otteniamo: Quindi la probabilità di essere infettati dal virus se il test à risultato positivo à solo del per cento. Bisogna comunque fare attenzione nell’interpretazione del risultato: in questo caso abbiamo utilizzato l’ipotesi che la quota di infetti nel campione analizzato sia uguale a quella nella popolazione. In pratica la quota di potenziali infetti sottoposta a test à molto pià alta proprio perchà si ha ragione di credere che queste persone possano essere particolarmente a rischio. In questo esempio utilizzeremo sia il teorema delle probabilità totali che il teorema di Bayes. Wolfram S. à un buongustaio ed ha una collezione di vini. Questa sera ci saranno ospiti a cena e Wolfram sa che questi non sono dei conoscitori di vino. Il buongustaio quindi non vuole spendere troppo tempo nella scelta del vino, del resto cucinerà pollo e quindi sarebbe pià adatto un vino bianco. La sua cantina à composta da Qualitätswein, Kabinett e Spätlese nelle proporzioni . Di queste tre qualità di vino, il vino bianco rappresenta rispettivamente , e . Qual’à la probabilità che Wolfram prenda senza guardare una bottiglia di vino bianco dagli scaffali? Le probabilità associate con i diversi tipi di vino sono:

Wolfram si rende conto che questa classificazione costituisce anche una scomposizione dello spazio degli eventi (la cantina): , , . Cià significa che nella cantina sono conservati vini solo delle tre qualità indicate e ciascuna bottiglia puà essere classificata solo in una delle tre categorie. Se rappresenta l’evento “bottiglia di vino bianco” allora la probabilità associata a questo evento per le tre qualità di vino à:

Grazie a un diagramma di Venn, si puà visualizzare la situazione della cantina:

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Se , e costituiscono una scomposizione di allora anche , e devono essere disgiunti. Quindi Le probabilità delle intersezioni nella parte destra dell’equazione possono essere calcolate grazie al teorema delle probabilità composte come segue: per : Quindi prendendo una bottiglia a caso, la probabilità che questa sia di vino bianco à del 25 percento. Se Wolfram ha preso una bottiglia di vino bianco, qual’à la probabilità che questa sia Qualitätswein? ovvero Wolfram vorrebbe utilizzare la probabilità condizionata ma non conosce la probabilità del membro destro dell’equazione: Decide quindi di utilizzare il teorema delle probabilità composte, l’assioma della probabilità condizionata e il teorema delle probabilità totali per ottenere il numeratore e il denominatore del teorema di Bayes: Quindi la probabilità che una bottiglia di vino bianco scelta casualmente sia Qualitätswein à del 40 per cento.