Propiedades de los números de Euler (números combinatorios)

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El símbolo de Euler \left(
    \begin{array}{c}
    n\\
    k
    \end{array} \right), leído como n sobre k, es usado en combinatoria de forma habitual. De tal manera que es útil saber las propiedades más importantes de estos llamados números combinatorios.

Simetría

\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right) = \left(
\begin{array}{c} n\\ n-k \end{array} \right)

Demostracíon de simetría :

\frac{n\,!}{k\,! (n-k)\,!} = \frac{n\,!}{(n-k)\,!
(n-(n-k))\,!}

Casos específicos

\begin{align}
\left( \begin{array}{c} n\\ 0 \end{array} \right) & = & \frac{n\,!}{0\,! (n-0)\,!} = 1\\
&&\\
\left( \begin{array}{c} n\\ 1 \end{array} \right) & = & \frac{n\,!}{1\,! (n-1)\,!} = n\\
&&\\
\left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{c} n\\ n \end{array} \right) = 1\\
&&\\
\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right) & = & 0 \ \text{for}\ k > n \geq 0\end{align}

Sumatorio de números de Euler

\left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right) + \left(
\begin{array}{c} n\\ k + 1 \end{array} \right) = \left(
\begin{array}{c} n + 1\\ k + 1 \end{array} \right)

Derivación de la propiedad:

\begin{align}
\frac{n\,!}{k\,! (n-k)\,!} + \frac{n\,!}{(k+1)\,! (n-(k+1))\,!} & = & \frac{(k+1)n\,!}{(k+1)k\,! (n-k)\,!} + \frac{(n-k)n\,!}{(k+1)\,! (n-(k+1))\,! (n-k)}\\
&&\\
& = & \frac{n\,!((k+1) + (n-k))}{(k+1)\,! (n-k)\,!}\\
&&\\
& = & \frac{n\,! (n+1)}{((n+1) - (k+1))\,! (k+1)\,!}\\
&&\\
& = & \frac{(n+1)\,!}{((n+1) - (k+1))\,! (k+1)\,!}\\
&&\\
& = & \left( \begin{array}{c} n+1\\ k+1 \end{array} \right)\end{align}

Números de Euler y coeficientes binomiales

La siguiente tabla contiene en la columna izquierda una expresión de la forma (a+b)^n y en la columna derecha sumas obtenidas mediante la expansión de la expresión de la columna izquierda.

Es folnode6 e 8.gif

Triángulo de Pascal

En el triángulo de Pascal, están todos los coeficientes de la tabla anteriormente representada. Vease la dependencia aditiva de dos filas del triángulo.

En pascal triangle.png

(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20 a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6

Teorema Binomial

El teorema binomial ilustra la mencionada dependencia entre los números de Euler y los números combinatorios. (a+b)^n =
\left(
\begin{array}{c} n\\ 0 \end{array} \right) a^n + \left(
\begin{array}{c} n\\ 1 \end{array} \right) a^{n-1}b + \left(
\begin{array}{c} n\\ 2 \end{array} \right) a^{n-2}b^2 + \dots +
\left( \begin{array}{c} n\\ n-1 \end{array} \right) ab^{n-1} +
\left( \begin{array}{c} n\\ n \end{array} \right) b^n = =
\sum_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n\\ k \end{array} \right)
a^{n-k}b^k