Concetti di calcolo delle probabilità

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La probabilità à una misura che quantifica l’incertezza del verificarsi di un evento in uno esperimento aleatorio. Nel seguito verranno presentati tre definizioni di probabilità.

La definizione classica di probabilità

(Definizione di Laplace) Secondo Laplace gli eventi di un esperimento aleatorio hanno le seguenti caratteristiche:

  • lo spazio degli eventi à composto di un numero finito di eventi
  • l’esperimento aleatorio ha un solo evento come risultato
  • ogni evento à egualmente possibile

La probabilità che il risultato si verifichi à data da: Proprietà:

Esempio: lancio di un dado
Spazio degli eventi:
‘numero pari’
Eventi contenuti in : ,,

La definizione frequentista o statistica di probabilità

(Definizione di Richard von Mises) In questo caso la probabilità à data dal limite a cui tende la frequenza relativa dell’evento quando:

  • gli esperimenti sono infiniti e indipendenti
  • le condizioni dell’esperimento sono immutabili (perfetta ripetitività)

Sia la frequenza assoluta del verificarsi di in un esperimento ripetuto volte. la frequenza relativa di à definita da: Secondo la definizione statistica, la probabilità di à data da: Da segue . Esempio: lancio di una moneta. à l’evento testa. Nella tabella seguente viene indicata la frequenza relativa dell’evento negli lanci della moneta. La frequenza si avvicina a per molto grandi.

n
10 7 0.700
20 11 0.550
40 17 0.425
60 24 0.400
80 34 0.425
100 47 0.470
200 92 0.460
400 204 0.510
600 348 0.580
800 404 0.505
1000 492 0.492
2000 1010 0.505
3000 1530 0.510
4000 2032 0.508
5000 2515 0.503

La convergenza delle frequenze relative à resa ancora pià chiara da un grafico; sulle ascisse à indicato il numero di ripetizioni del lancio, sulle ordinate la frequenza dell’evento testa.

En folimg535.gif

L’esempio chiarifica un aspetto importante da tenere presente nell’interpretazione di questa definizione: il calcolo delle frequenze relative dell’evento viene effettuato dopo che l’esperimento à stato eseguito. La definizione di probabilità riguarda perà un evento che ancora non si à verificato. Inoltre in pratica à impossibile ripetere un esperimento un numero infinito di volte. La definizione statistica di probabilità rimane tuttavia importante in quanto la probabilità di un evento viene approssimata dalla corrispondente frequenza relativa.

La definizione assiomatica di probabilità

La probabilità di un evento appartenente allo spazio degli eventi à quel numero associato ad () che rispetta le seguenti condizioni: Assioma 1
La probabilità dell’evento à un numero reale non negativo per il quale vale: . Assioma 2
Lo spazio degli eventi contiene tutti gli eventi possibili. à un evento certo . Assioma 3
Se e sono due eventi disgiunti (), allora
Dagli assiomi discendono alcuni teoremi
Siano eventi e la probabilità associata agli eventi allora si possono applicare i seguenti teoremi:

  1. Se per , allora

Teorema delle probabilità totali per due eventi compatibili

Se e sono due eventi qualsiasi di un esperimento aleatorio allora la probabilità che si verifichi l’uno oppure l’altro à data da:

En folnode7 c 02.gif

Estensione del teorema a tre eventi: , , :

En folnode7 c k 1 1.gif

Consideriamo un mazzo di 32 carte da gioco. Il mazzo contiene 4 regine e 8 carte di cuori. Vogliamo adesso sapere la probabilità di estrarre dal mazzo una regina o una carta di cuori. Secondo la definizione classica di probabilità abbiamo:

Secondo il teorema delle probabilità totali abbiamo: in questo caso,
La probabilità di estrarre dal mazzo una regina o una carta di cuori à .

  1. L’evento puà essere suddiviso nei due insiemi disgiunti e e quindi

    Il diagramma di Venn aiuta a comprendere la relazione meglio:

    En folnode7 c mi 2 1k.gif

    usando il terzo assioma, la probabilità à data da: e quindi

  2. L’evento puà essere ridefinito come l’unione dei due insiemi disgiunti e

    En folnode7 c mi 2 1l.gif

    Usando nuovamente il terzo assioma, la probabilità di à data da Utilizzando il risultato ottenuto per otteniamo:

    En folnode7 c mi 2 1m.gif

Teorema 4:
Si puà dimostrare che se allora . Si puà definire l’evento come , dove e sono insiemi disgiunti.
Secondo il terzo assioma abbiamo: . Dato che la probabilità di à non negativa allora . Il teorema puà essere meglio compreso grazie ad un diagramma di Venn:

En folnode7 c mi 01.gif

Teorema 6:
Si puà dimostrare che . Dato che e , dove e sono disgiunti, e utilizzando il terzo assioma, possiamo derivare la probabilità di come segue L’equazione à resa pià chiara dal diagramma di Venn:

En folnode7 c mi 02.gif