Conceptos de Probabilidad

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La probabilidad es una medida P(\bullet) que cuantifica el grado de certeza asociado a un suceso. Vamos a plantear tres diferentes enfoques de probabilidad.

Probabilidad clásica

La definición clásica de Laplace de la probabilidad se basa en resultados equiprobables. Se postulan las siguientes propiedades de los sucesos:

  • El espacio muestral está compuesto por un número finito de resultados básicos
  • El proceso aleatorio genera exactamente un resultado básico y por lo tanto un suceso elemental
  • los sucesos elementales son equiprobables, es decir, ocurren con la misma probabilidad

Aceptando estos supuestos, la probabilidad de un suceso A (subconjunto del espacio muestral) puede obtenerse como P(A)=\frac{\#\left(  \text{resultados básicos en }A\right)
}{\#\left( \text{resultados básicos en }S\right)
}=\frac{\#\left( \text{sucesos elementales que componen }A\right)
}{\#\left( \text{sucesos elementales que componen }S\right)  } Propiedades:

  • 0\leq P(A) \leq1
  • P(\emptyset)=0
  • P(S)=1

Ejemplo: Lanzamiento de un dadoEspacio muestral: S=\{1,2,3,4,5,6\} Definimos el suceso A= ‘número par’Sucesos elementales en A: \{2\},\{4\},\{6\}P(A)=\frac{3}{6}=0.5

Probabilidad Estadística

Richard von Mises dio origen al enfoque de de la probabilidad: La probabilidad P(A) de un suceso A se define como el límite de la frecuencia relativa de A, es decir, el valor al que la frecuencia relativa convergerá si el experimento se repite infinitamente.  En este caso, se asume que las réplicas son independientes entre si. Sea h_{n}(A) la frecuencia absoluta de A que ocurre en n repeticiones. Entonces, La frecuencia relativa de A está definida como f_{n}(A)=\frac{h_{n}(A)}{n} De acuerdo con el concepto estadístico de probabilidad tenemos P(A)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}(A) Puesto que 0\leq f_{n}(A)\leq1 entonces 0\leq P(A)\leq1. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda Denotando por T  al suceso ‘ocurre una cara’.  Las frecuencias absolutas y relativas de A después de n lanzamientos se muestran en la tabla siguiente. Esta peculiar muestra presenta una convergencia no monótona hacia 0.5, la probabilidad teórica de la ocurrencia de cara en repetidos lanzamientos de una moneda ’no cargada’..

n h_{n}(A) f_{n}(A)
10 7 0.700
20 11 0.550
40 17 0.425
60 24 0.400
80 34 0.425
100 47 0.470
200 92 0.460
400 204 0.510
600 348 0.580
800 404 0.505
1000 492 0.492
2000 1010 0.505
3000 1530 0.510
4000 2032 0.508
5000 2515 0.503

El hecho de visualizar la secuencia de las frecuencias relativas f_{n}\left( A\right)  como una función del tamaño muestral nos proporciona cierta intuición acerca del carácter de la convergencia.

Es folimg535.gif

El objetivo central de la estadística es la estimación o aproximación de las probabilidades de sucesos utilizando los datos observados.  Estas estimaciones pueden ser entonces utilizadas para realizar afirmaciones probabilísticas acerca del proceso generador de los datos, (por ejemplo, intervalos de confianza que se estudiarán con posterioridad), contrastar afirmaciones acerca del proceso y predecir la probabilidad de futuros sucesos

Fundamentación axiomática de la Probabilidad

P es una medida de probabilidad.  Es una función que asigna un número P(A) a cada suceso A del espacio muestral S. Axioma 1P(A) es un valor real con P(A)\geq0. Axioma 2P(S)=1. Axioma 3Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes (A\cap B=\emptyset), entoncesP(A\cup B)=P(A)+P(B) Algunas propiedades básicas de la probabilidadSean los sucesos A,B,A_{1},A_{2}
,\ldots\subset S y la medida de probabilidad P(\bullet). Entonces, las siguientes propiedades se obtienen de los tres axiomas anteriormente mencionados

Propiedades

  1. P(\overline{A})=1-P(A)
  2. \left(  A \cap B = \emptyset\right)  \Rightarrow P(A \cap
B)=P(\emptyset) = 0
  3. Si A_{i}\cap A_{j}=\emptyset para i\neq j, entonces P(A_{1}\cup
A_{2}\cup\ldots)=P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots

Regla de adicción de la Probabilidad

Sean dos sucesos A y B. EntoncesP\left( A\cup
B\right) =P\left(  A\right)  +P\left(  B\right) -P\left( A\cap
B\right)

Es folnode7 c 02.gif

Extensión a tres sucesos A, B, C:P(A\cup B\cup
C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap
C)

Es folnode7 c k 1 1.gif

Supongamos que tenemos una baraja de póker de 52 cartas. Estamos interesados en la probabilidad de que una carta seleccionada aleatoriamente sea la reina o que sea de ’corazones’. De esta manera, estamos interesados en la probabilidad del suceso \left( \left\{ \text{Reina}\right\} \cup\left\{
\text{Corazones}\right\} \right)  . De acuerdo a la noción de probabilidad de Laplace, podemos proceder del siguiente modo: Existen 4 reinas y 13 corazones en la baraja. Por lo tanto,

  • P\left(  \left\{  \text{Reina}\right\}  \right)  =\frac{4}{52}
  • P\left(  \left\{  \text{Corazones}\right\}  \right)  =\frac{13}{52}

Pero sólo hay una carta que sea a la vez reina y de corazones. Como esta carta está incluida en ambos casos, exageraríamos la probabilidad de obtener ya sea reina o corazón si simplemente sumamos las probabilidades. De hecho, la regla de adicción de las probabilidades requiere la deducción del suceso conjunto: P\left(  A\cup B\right)  =P\left(  A\right)  +P\left(  B\right)  -P\left(
A\cap B\right) Aquí,

  • P\left(  A\cap B\right)  =P\left(  \left\{  \text{Reina}\right\}
\cap\left\{  \text{Corazones}\right\}  \right)  =\frac{1}{52}

De este modo,P\left(  \left\{  \text{Reina}\right\}
\cup\left\{ \text{Corazones}\right\}  \right)  =P\left(  \left\{
\text{Reina}\right\} \right)  +P\left(  \left\{
\text{Corazones}\right\}  \right)  -P\left(  \left\{
\text{Reina}\right\}  \cap\left\{  \text{Corazones}\right\}  \right)
=\frac {4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52} La probabilidad de obtener una reina y/o de corazones es 16/52.

  1. El suceso B puede ser escrito como la unión de dos conjuntos disjuntos A
\cap B y \bar A \cap B del siguiente modo B = (A \cap B) \cup(\bar A \cap B)

    como se ilustra en el diagrama de Venn:

    Es folnode7 c mi 2 1k.gif

    De acuerdo con el axioma 3, la probabilidad P(B) es P(B)=P[(A\cap B)\cup(\bar{A}\cap B)]=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B) que implica P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)

  2. Vamos a reescribir el suceso A \cup B como la unión de dos conjuntos disjuntos A y \bar A \cap B a fin de que A \cup B = A \cup(\bar A \cap B)

    Es folnode7 c mi 2 1l.gif

    De acuerdo al teorema 3, la probabilidad P(A \cup B) P(A \cup B) = P[A \cup(\bar A \cap B)] = P(A) + P(\bar A \cap B) Ahora obtenemos el resultado deseado calculando P(\bar A \cap
B) mediante la utilización de la fórmula dada en la parte uno: P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

    Es folnode7 c mi 2 1m.gif

Demostración de la Propiedad 5:Vamos a mostrar que si A\subset B implica P(A)\leq P(B). El suceso B puede ser escrito como B = A \cup(B
\setminus A), donde A y B \setminus A son conjuntos disjuntos.De acuerdo con el axioma 3, tenemos que: P(B)
= P(A) + P(B \setminus A). Como la probabilidad no puede ser negartiva P(B \setminus A) \geq0 entonces P(B) \geq P(A). Esta regla puede ser ilustrada mediante un diagrama de Venn:

Es folnode7 c mi 01.gif

Demostración de la Propiedad 7:Vamos a probar que P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B). Tenemos A\setminus B=A\cap\bar{B} y A=(A\cap
B)\cup(A\cap\bar{B}), donde (A\cap B) y (A\cap\bar{B}) son claramente disjuntos.Utilizando el axioma 3 la probabilidad de A puede ser calculada como P(A)=P[(A\cap B)\cup(A\cap\bar{B})]=P(A\cap B)+P(A\cap\bar{B})=P(A\cap
B)+P(A\setminus B) Estos resultados se muestran en el siguiente diagrama de Venn:

Es folnode7 c mi 02.gif