La distribuzione di Poisson

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La distribuzione di Poisson rispecchia un esperimento nel quale il risultato puà ripetersi in modo casuale e indipendente in una prefissata entità dimensionale (per esempio: tempo, area, distanza). La variabile casuale X indica il numero di degli eventi verificatisi ed à quindi discreta. Una variabile casuale discreta X con la seguente distribuzione di probabilità:

ha una distribuzione di Poisson con il parametro , indicata con . La funzione di ripartizione à:

La speranza matematica e la varianza sono: rispettivamente; X à definita su tutto il campo dei numeri naturali. La distribuzione di Poisson à tabellata per diversi valori di .

Le proprietà della distribuzione di Poisson sono:

- proprietà additiva: date due variabili casuali indipendenti e , la variabile Z = X+Y ha anche una distribuzione di Poisson con parametri :

- la distribuzione di Poisson per un intervallo di ampiezza arbitraria: se il numero di risultati in un singolo intervallo à distribuito secondo una distribuzione di Poisson, allora anche il numero di risultati in un intervallo di ampiezza t ha una distribuzione di Poisson con il parametro :

La distribuzione di Poisson dipende dal parametro che influenza la sua forma, posizione e varianza. In questo esempio interattivo si ha la possibilità di variare questo parametro e vederne gli effetti sulla rappresentazione grafica di PO(); si possono inoltre calcolare le probabilità per determinati valori di X.

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In base all’esperienza accumulata nel tempo si puà affermare che il servizio clienti di un grande magazzino viene interpellato in media da un cliente all’ora tra le 9.00 e le 14.00, mentre nelle ore pomeridiane tra le 14.00 e le 19.00 verrà interpellato in media da due clienti all’ora. Dato che le chiamate dei clienti possono essere considerate indipendenti le une dalle altre (non si tratta di un sistema di ordinazioni per telefono) si puà definire la variabile casuale = numero dei clienti per ora tra le 9.00 e le 14.00 una distribuzione di Poisson con = 1 e la variabile casuale = numero dei clienti per ora tra le 14.00 e le 19.00 avrà anche una distribuzione di Poisson con = 2. Per entrambi gli intervalli temporali vale t = 5. Con tali informazioni possiamo calcolare la probabilità che un determinato numero di clienti interpelli il servizio clienti nel periodo tra le 9.00 e le 14.00, per esempio = 6; La probabilità che pià di quattro clienti si rivolgano al servizio clienti à: La funzione di probabilità PO(5) à:

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Per quanto riguarda le domande di cui sopra nel periodo tra le 14.00 e le 19.00 le probabilità () sono: La funzione di probabilità PO(10) à:

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Date le condizioni poste si puà dedurre che le richieste di assistenza da parte dei clienti nei due periodi considerati non siano correlate tra loro e che quindi le due variabili casuali e siano indipendenti. La probabilità che sia tra le 9.00 e le 14.00 che tra le 14.00 e le 19.00 pià di 4 clienti si rivolga all’ufficio clienti à quindi del: Per ottenere il numero di clienti per ora nell’intero alrco della giornata ( dalle 9.00 alle 19.00) dobbiamo prendere in considerazione la variabile casuale ; data l’indipendenza delle due variabili e , Y avrà una distribuzione di Poisson con . In una cittadina vengono vaccinati tutti i 20.000 abitanti; la probabilità che il vaccino causi degli effetti negativi à di 0.0001.

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In pratica si tratta di un esperimento bernoulliano:
1. = effetti negativi = nessun effetto negativo
2. = 0.0001 à costante.
3. Le prove, ovvero i vaccini, sono indipendenti. Per ottenere la probabilità che un determinato numero di vaccinazioni abbia effetti negativi dovremmo utilizzare una distribuzione binomiale, data perà la piccolissima probabilità e il numero elevato delle prove la approssimiamo con una distribuzione di Poisson: e . à il numero atteso di casi in cui si presentano effetti negativi. La probabilità PO(2) à data di seguito:

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La probabilità che gli effetti negativi non si presentino à P(X = 0) = P(X 0) = F(0) = 0.1353 La probabilità che esattamente una persona presenti gli effetti negativi del vaccino à: P(X = 1) = P(X 1) - P(X 0) = F(1) - F(0) = 0,2707 La probabilità che pià di 4 persone subisca gli effetti negativi del vaccino à: Il valore di F(4) puà essere letto nella tabella della distribuzione di Poisson per = 2 e X = 4: F(4) = 0.9473 P(X > 4) = 1 - 0.9473 = 0.0527 Diamo inizialmente un numero di esempi di esperimenti che hanno una distribuzione di Poisson:

  • Il numero per pagina di testo di errori di battitura .
  • Il numero per intervallo di tempo di volte in cui si rompe un filo in un filatoio.
  • Il numero per minuto di chiamate in entrata in un centralino telefonico.
  • Il numero per minuto delle vetture che passano vicino ad un punto di osservazione.
  • Il numero di pazienti ricoverati in un lasso di tempo (per esempio 1 ora) al pronto soccorso.
  • Il numero di pesci pescati da un pescatore in un giorno.
  • Il numero di incidenti notificati a una compagnia assicurativa in un anno.
  • Il numero di clienti che chiedono un prestito in banca in un mese.

Nell’esperimento devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

  • la possibilità del verificarsi dell’evento à sempre limitata ad un intervallo. L’uso di una scala di misurazione appropriata assicura che sia sempre possibile individuare un unico intervallo.
  • il verificarsi dell’evento à casuale nel senso che non segue particolari schemi e non à quindi prevedibile.
  • gli eventi devono essere indipendenti e quindi il verificarsi o meno di un evento non deve influenzare il verificarsi o meno di questo stesso evento in un altro intervallo. Di conseguenza il numero di eventi in due intervalli disgiunti sono indipendenti.
  • due eventi non possono verificarsi contemporaneamente, ovvero in un intervallo arbitrariamente piccolo, la probabilità che si verifichi pià di un evento dev’essere uguale a 0.
  • l’ “intensità" del verificarsi degli eventi deve essere costante con il parametro , ovvero il numero medio di eventi che si verificano in un intervallo deve essere indipendente dall’intervallo scelto. Di conseguenza la probabilità del verificarsi di un certo numero di eventi in un intervallo dipende solo dall’ampiezza di quest’ultimo.

Se le date condizioni sono soddisfatte e abbiamo una continuità nel tempo, siamo in presenza di un processo di Poisson.
La distribuzione di Poisson puà essere derivata anche dalla distribuzione binomiale se le seguenti condizioni sono soddisfatte:

  • il numero n delle prove à abbastanza elevato.
  • la probabilità che si verifichi l’evento , , à molto piccola in una singola prova.
  • mantenendo = costante, aumentando il numero delle prove n; ((n )), p converge verso lo zero (p-0).

In questo modo possiamo approssimare la distribuzione binomiale con una distribuzione di Poisson PO( = np). In questo caso (n molto grande e p molto piccola) La distribuzione di Poisson viene utilizzata anche per indicare la distribuzione di eventi molto rari. In generale si utilizza la distribuzione di Poisson invece di quella binomiale se: e p0,05. La rappresentazione grafica della funzione di probabilità della distribuzione di Poison à un diagramma a linee. Per valori di piccoli, la distribuzione à spostata verso sinistra; la distribuzione diventa simmetrica per valori elevati di . Nel grafico vengono mostrate le distribuzioni di Poisson per = 5 e = 1.

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