Distribución de Poisson

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La distribución de Poisson puede describir un experimento en el cual un resultado se puede observar un cierto número de veces (por ejemplo, muertes accidentales). La variable aleatoria X representa el número de resultados y es de naturaleza discreta. Esta variable aleatoria con la función de densidad de probabilidad como la distribución de Poisson con parámetro \lambda se escribe como: f_{PO}(x;\lambda) = \left\{
        \begin{array}{ll}
          \frac{\lambda^x}{x!}e^{- \lambda} \quad & \text{para}\ x = 0,1,2,
\dots ; \lambda > 0 \\
          \\
          0 \quad & \text{en otro caso}
        \end{array} \right. La función de distribución: F_{PO}(x;\lambda) = \left\{
        \begin{array}{ll}
          \sum\limits_{k=0}^{x} \frac{\lambda^x}{x!}e^{- \lambda} \quad &
\text{for}\ k \geq 0 ; \lambda > 0 \\
          \\
          0 \quad & \text{for}\ k \leq 0
        \end{array} \right.

El valor esperado y varianza son: E(X) = \lambda  \quad Var(X) = \lambda La tabla muestra la distribución de Poisson para series de valores de \lambda.

Propiedades de la distribución de Poisson:

- Reproductividad: Considerese dos variables independientes X
\sim PO(
\lambda_1) e Y
\sim PO( \lambda_2), entonces la variable aleatoria Z = X+Y se distribuye como una Poisson de parámetro {\lambda_1 + \lambda_2}:  Z \sim PO(\lambda_1+\lambda_2)

-Distribución de Poisson para una amplitud de intervalo arbitraria: Si el número de resultados de un único intervalo tienen una distribución de Poisson, entonces el número de resultados en un intervalo de amplitud t también se distribuye como una Poisson de parámetro \lambda t: f_{PO}(x;\lambda \cdot t) = \frac{(\lambda t)^x}{x!}e^{-\lambda t}

La distribución de Poisson depende del parámetro \lambda que influye en su forma, posición y varianza. El siguiente ejemplo te permitirá estudiar el efecto del parámetro \lambda en la forma de la función. Además, puedes obtener las probabilidades asociadas a los resultados que tienen una distribución de Poisson.

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A través de la experiencia, el departamento de servicio al cliente de un gran supermercado sabe que recibe de media, 1 cliente por hora entre las 9 am y las 2 pm, y 2 clientes por hora entre las 2 pm y las 7 pm. Dado que la petición del servicio por un cliente puede ser considerada aleatoria e independiente respecto a otro consumidor, la variable aleatoria X_1 = número de clientes por hora entre las 9 am y 2 pm sigue una distribución de Poisson de parámetro \lambda_1= 1. Y la variable aleatoria X_2 = número de clientes entre 2 pm y 7 pm también sigue una distribución de Poisson de parámetro \lambda_2 = 2. En ambas, el tiempo de intervalo es, t = 5. Con la anterior información, podemos calcular la probabilidad de obtener un número específico de clientes entre las 9 am y 2 pm. Por ejemplo X_1 = 6; P(X_1 = 6) = f_{PO}(6;1 \cdot 5) = \frac{(\lambda t)^x}{x!}e^{-\lambda t} =
\frac{(1 \cdot 5)^6}{6!}e^{-1 \cdot 5} = 0.1462 La probabilidad de tener más de 4 clientes en el departamento de atención al cliente es: P(X_1 > 4) = 1 - P(X_1 \leq 4) = 1 - e^{-5} \left( \frac{5^0}{0!} +
\frac{5^1}{1!} + \frac{5^2}{2!} + \frac{5^3}{3!} + \frac{5^4}{4!} \right) = 1
- 0.4405 = 0.5595 La función de probabilidad PO(5)

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También, podemos obtener las probabilidades para (X_2 = 6, X_2 > 4) entre 2 p.m y 7 p.m. P(X_2 = 6) = f_{PO}(6;2 \cdot 5) = \frac{(\lambda t)^x}{x!}e^{-\lambda t} =
\frac{(2 \cdot 5)^6}{6!}e^{-2 \cdot 5} = 0.063 P(X_2 > 4) = 1 - P(X_2 \leq 4) = 1 - e^{-10} \left( \frac{10^0}{0!} +
\frac{10^1}{1!} + \frac{10^2}{2!} + \frac{10^3}{3!} + \frac{10^4}{4!} \right)
= 1 - 0.0293 = 0.9707 La función de densidad de probabilidad PO(10)

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Utilizando estos resultados, se puede determinar si las variables aleatorias para demandas en el servicio de atención al cliente, es decir, X_1 y X_2, son independientes. La probabilidad de recibir mas de 4 clientes en un intervalo entre 9 a.m y 2 p.m asi como entre 2 p.m y 7 p.m se puede obtener como: P(X_1 > 4, X_2 > 4) =  P(X_1 > 4) \cdot P(X_2 > 4) = 0.5595 \cdot 0.9707 =
0.5431. Para obtener el número total de clientes entre 9 a.m y 7 p.m, generamos la variable aleatoria Y = X_1 + X_2. Como X_1 y X_2 son independientes, también tenemos una distribución de Poisson de parámetro \lambda_1 +
\lambda_2 = 1+2=3. En una ciudad hay 20.000 habitantes que necesitan ser vacunados. La probabilidad de que la vacuna produzca un efecto adverso en una persona inoculada es 0.0001.

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Efectivamente, esto es un experimento de Bernoulli, donde; 1. A = Ocurrencia de efecto adverso \bar{A} = No efectos adversos de la vacuna 2. P(A) = 0.0001 es constante. 3. Independencia de las pruebas, es decir, vacunas. Para obtener las probabilidades de que ocurran un número de reacciones adversas, se puede usar la distribución binomial. Pero debido a la pequeña probabilidad de éxito asi como al gran número de pruebas, la aproximación más correcta es la distribución de Poisson, ya que n
>30 y p \leq 0.05. \lambda = np = 20000 \cdot 0.0001 = 2 Esta es el número esperado de casos con reacción adversa. La función de probabilidad PO(2) es la que se da a continuación:

Es s2 24 f 2.gif

La probabilidad de no sufrir efectos adversos es P(X = 0) = P(X \leq 0) = F(0) = 0.1353 La probabilidad de que exactamente una persona sufra los efectos adversos de la vacuna es: P(X = 1) = P(X \leq 1) - P(X \leq 0) = F(1) - F(0) = 0,2707 La probabilidad de que más de 4 personas sufran efectos adversos es: P(X > 4) = 1 - F(4) El valor de F(4) se puede encontrar en las tablas de la distribución de Poisson para \lambda = 2 a X = 4: F(4) = 0.9473 P(X > 4) = 1 - 0.9473 = 0.0527 Los siguientes son ejemplos que tienen una distribución de Poisson para la variable X:

  • El número de fallos de imprenta por pagina en un libro.
  • El número de veces que se enrolla un tejedora en un intervalo de tiempo.
  • El número de llamadas a un centro telefónico
  • El número de vehículos pasan por un punto de observación en un minuto.
  • El número de pacientes que llegan al servicio de urgencias en una hora.
  • La cantidad de particulas alfa emitidas por una substancia radiactiva en un intervalo de tiempo.
  • El número de peces capturados por un pescador en un dia.
  • El número de accidentes comunicados a un seguro en un año.
  • El número de clientes de un banco que solicitan un crédito en un mes.

Se realizan los siguientes supuestos respecto al experimento aleatorio. - La posibilidad de ocurrencia está basada siempre en un intervalo. El uso de la escala apropiada determinará que el tamaño dado está constituido para unidades continuas en un intervalo. - La ocurrencia de un resultado es puramente aleatorio en el sentido de que no puede ser predeterminado. - La independencia de los resultados, implica que una ocurrencia (o no ocurrencia) del resultado no puede influir en la ocurrencia del mismo resultado en otro ensayo. Por lo tanto el número de resultados en dos intervalos disjuntos son independientes. - 2 resultados no pueden ocurrrir al mismo tiempo, es decir, en un intervalo cualquiera, la posibilidad de obtener mas de un resultado debe ser 0. - La “intensidad” de ocurrencia de un resultado debe ser constante de el parámetro lambda>0, es decir, la media del número de resultados en un intervalo debe ser independiente del intervalo elegido. Consecuentemente, la probabilidad de ocurrencia en un intervalo espécifico sólo depende del tamaño del intervalo. Si los supuestos anteriores son ciertos entonces la variable describe un proceso de Poisson. La distribución de Poisson también se puede derivar usando una distribución binomial usando los siguientes supuestos:

  • El número de ensayos; n, es suficientemente largo.
  • La probabilidad de ocurrencia del resultado A, P(A) = p, en un único ensayo es muy pequeña.
  • E(X) = np = \lambda, entonces incrementando el número de ensayos n; ((n \rightarrow
\infty)), p tiende a cero (p-0).

Consecuentemente, la distribución de PO(\lambda = np) se puede usar para aproximar una distribución binomial. con n grande y p pequeño la distribución de Poisson se usa como distribución de ocurrencias extrañas. Para aproximar una distribución de Poisson en lugar de una binomial es necesario: n > 30 y p\leq0,05. El siguiente diagrama presenta los gráficos de una función de densidad de probabilidad de Poisson para \lambda = 5 y \lambda = 1. Cuanto menor es el valor de \lambda más asimétrica es la distribución de Poisson hacia la izquierda. Sin embargo, cuando \lambda aumenta la función de densidad se vuelve más simétrica.

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