Indici di forma di variabili duedimensionali

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Le speranza matematica e le varianze delle distribuzioni marginali e condizionate sono facilmente calcolabili in quanto si possono direttamente utilizzare le formule per variabili casuali unidimensionali (le distribuzioni marginali e condizionate sono unidimensionali). Gli indici pià importanti che si riferiscono alla distribuzione congiunta delle due variabili sono la covarianza e il coefficiente di correlazione.

La covarianza:

La covarianza si basa sul prodotto delle deviazioni standard delle variabili casuali $X$ e $Y$ dalla rispettiva media: $(X-E(X))(Y-E(Y))$. La covarianza $Cov(X,Y)$ à definita come il valore atteso di questo prodotto: $Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)$ La covarianza misura il tipo di dipendenza tra le due variabili. Attenzione: la covarianza puà anche essere negativa! La covarianza non à compresa in un determinato intervallo di valori à quindi ‘difficile da interpretare, rimane comunque un indice molto importante soprattutto per verificare l’indipendenza: se le due variabili sono indipendenti allora la covarianza à nulla. Non vale perà la relazione inversa: se la covarianza à nulla non à detto che le due variabili siano indipendenti.

Il coefficiente di correlazione:

Il coefficiente di correlazione ci aiuta a valutare l’intensità della dipendenza tra le due variabili. Per ottenere un coefficiente compreso in un determinato intervallo di valori standardizziamo le due variabili: ${\frac {[X-E(X)]}{\sigma _{x}}};{\frac {[Y-E(Y)]}{\sigma _{y}}}$ Il valore atteso del prodotto delle due variabili standardizzateà il coefficiente di correlazione: $\rho (X,Y)=E\left[{\frac {[X-E(X)]}{\sigma _{x}}}\cdot {\frac {[Y-E(Y)]}{\sigma _{y}}}\right]={\frac {Cov(X,Y)}{\sigma _{x}\cdot \sigma _{y}}}$ per $\sigma _{x}>0,\ \sigma _{y}>0$. Puà essere dimostrato che: $-1\leq \rho (X,Y)\leq +1$ Le proprietà del coefficiente di correlazione sono:

• Il coefficiente di correlazione ha lo stesso segno della covarianza in quanto la deviazione standard non puà essere negativa (à la radice quadrata della varianza)
• Il coefficiente di correlazione à sempre compreso nell’intervallo $[-1;+1]$
• Il coefficiente di correlazione misura la dipendenza lineare di due variabili
• $|\rho (X,Y)|=1$ se e solo se $X$ e $Y$ sono la trasformazione lineare l’una dell’altra, ovvero: $Y=a+bX,\ b\neq 0,\ {\text{rispettivamente}}\ X=c+dY,\ d\neq 0$ per dati $a,b,c,d$
• Se $X$ e $Y$ sono indipendenti allora $\rho (X,Y)=0$
  

Un coefficiente nullo non implica del resto l’indipendenza delle due variabili.
Se $\rho (X,Y)=0$ allora $X$ e $Y$ non sono correlate. Due variabili non correlate possono tuttavia essere dipendenti per esempio nel caso in cui la relazione sia non lineare. Valori attesi e varianze di combinazioni lineari di variabili casuali:

$Z$	$E(Z)$	$Var(Z)$
$aX\pm bY$	$aE(X)\pm b(EY)$	$a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)\pm 2abCov(X,Y)$
$X+Y$ (spec. $a=b=1$)	$E(X)+E(Y)$	$Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$
$X-Y$ (spec. $a=1,b=-1$)	$E(X)-E(Y)$	$Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y)$
$1/2(X+Y)$ (spec. a=b=1/2)	$1/2[E(X)+E(Y)]$	$1/4Var(X)+1/4Var(Y)+1/2Cov(X,Y)$

Un promotore finanziario offre ai suoi clienti la possibilità di investire il loro patrimonio in due fondi d’investimento: Securia (S) e Technoinvest (T). Il profitto associato ad un fondo viene solitamente calcolato come rendita attesa mentre la varianza (o deviazione standard) rappresenta una misura del rischio associato al fondo. I profitti sono legati alle rendite future e per definizione le rendite sono incerte e quindi connesse ad un certo rischio. Di conseguenza, per ripartire il patrimonio tra diversi fondi con diversi livelli di rischio bisogna considerare la correlazione tra i valori attesi delle rendite. Il promotore finanziario fornisce tre scenari di sviluppo economico futuro (1—invariato, 2—recessione, 3—congiuntura), una valutazione delle probabilità del loro verificarsi e quindi una valutazione del profitto dei fondi Securia e Technoinvest nei diversi scenari.

Scenario	Probabilità	Profitto S (%)	Profitto T (%)
1	0,5	3,5	5,0
2	0,3	4,0	- 1,0
3	0,2	2,0	7,0

Il rendimento atteso dei due fondi à quindi: $E(S)=3,5\cdot 0,5+4\cdot 0,3+2\cdot 0,2=3,35\,\%{\text{ e }}E(T)=5\cdot 0,5-1\cdot 0,3+7\cdot 0,2=3,6\,\%$ le varianze e le deviazioni standard sono: $Var(S)=(3,5-3,35)^{2}\cdot 0,5+(4-3,35)^{2}\cdot 0,3+(2-3,35)^{2}\cdot 0,2=0,5025\,,\quad \sigma (S)=0,7089\,\%$ $Var(T)=(5-3,6)^{2}\cdot 0,5+(-1-3,6)^{2}\cdot 0,3+(7-3,6)^{2}\cdot 0,2=9,64\,,\quad \sigma (T)=3,1048\,\%$ La varianza delle rendite e quindi il rischio dei fondi Technoinvest (T) à maggiore di quella di Securia (S). La covarianza à data da: $Cov(S,T)=(3,5-3,35)(5-3,6)\cdot 0,5+(4-3,35)(-1-3,6)\cdot 0,3+(2-3,35)(7-3,6)\cdot 0,2=-1,71$ il coefficiente di correlazione à $\rho (S,T)=-1,71/(0,7089\cdot 3,1048)=-0,7769$ I rendimenti attesi dei due fondi sono quindi negativamente correlati. Il rendimento atteso del portafoglio Z dipende dalla ripartizione del patrimonio nei due fondi. Utilizzando i pesi $a$ e $b$ per S e T ($a+b=1$), otteniemo $E(Z)=aE(S)+bE(T)$ $Var(Z)=a^{2}Var(S)+b^{2}Var(T)+2abCov(S,T)=a^{2}Var(S)+b^{2}Var(T)+2ab\cdot \sigma (S)\cdot \sigma (T)\cdot \rho (S,T)$ Il rischio associato al portafoglio à ridotto se la correlazione tra i rendimenti attesi dei due fondi à negativa o comunque bassa. Dati $a$ e $b$ possiamo adesso calcolare $E(Z)$ e $Var(Z)$ $a=b=0,5$:
$E(Z)=0,5\cdot 3,35+0,5\cdot 3,6=3,475$
$Var(Z)=0,25\cdot 0,5025+0,25\cdot 9,64-2\cdot 0,5\cdot 0,5\cdot 0,7089\cdot 3,1048\cdot 0,7769=1,6806$
$\sigma (Z)=1,296$

$a=0,8\ b=0,2$:
$E(Z)=0,8\cdot 3,35+0,2\cdot 3,6=3,4$
$Var(Z)=0,64\cdot 0,5025+0,04\cdot 9,64-2\cdot 0,8\cdot 0,2\cdot 0,7089\cdot 3,1048\cdot 0,7769=0,16$
$\sigma (Z)=0,4$
A parità di profitto, il rischio à inferiore se investiamo 80% nel fondo Securia (S) e 20 % nel fondo Technoinvest (T) piuttosto che investire in una proporzione di 50:50. Il rischio di questa combinazione à addirittura inferiore al rischio del fondo pià sicuro da solo.

La polizia ha raccolto per pià anni i dati sul numero di problemi tecnici (variabile casuale $X$) e l’età misurata in anni delle vetture utilizzate (variabile casuale $Y$). Per l’indagine sono state prese in considerazioni solo le macchine in circolazione da 1,2 o 3 anni. Le funzioni di probabilità congiunte e marginali delle due variabili sono indicate nella seguente tabella:

Numero di problemi ($X$)		DM $X$
	1	2	3
0	0,30	0,14	0,02	0,46
1	0,18	0,10	0,02	0,30
2	0,12	0,06	0,06	0,24
DM $Y$	0,60	0,30	0,10	1,000

I valori attesi e le varianze delle distribuzioni marginali sono: $E(X)=0\cdot 0,46+1\cdot 0,3+2\cdot 0,24=0,78\,,\quad Var(X)=0\cdot 0,46+1\cdot 0,3+4\cdot 0,24-0,78^{2}=0,6516$ $E(Y)=1\cdot 0,6+2\cdot 0,3+3\cdot 0,1=1,5\,,\quad Var(Y)=1\cdot 0,6+4\cdot 0,3+9\cdot 0,1-1,5^{2}=0,45$ Una vettura scelta a caso avrà quindi in media 0.78 problemi tecnici con una deviazione di 0.65 e sarà in media in uso già da 1.5 anni con una deviazione di 0.45 anni. La covarianza e il coefficiente di correlazione sono: $E(XY)=0\cdot 1\cdot 0,3+0\cdot 2\cdot 0,14+0\cdot 3\cdot 0,02+1\cdot 1\cdot 0,18+1\cdot 2\cdot 0,1+1\cdot 3\cdot 0,02+2\cdot 1\cdot 0,12+2\cdot 2\cdot 0,06+2\cdot 3\cdot 0,06=1,28$ $Cov(X,Y)=1,28-0,78\cdot 1,5=0,11\,,\quad \rho (X,Y)=0,11/(0,6516\cdot 0,45)^{0,5}=0,2031$ Quindi il numero di problemi tecnici e l’età della vettura sono positivamente correlati.

Consideriamo le due variabili casuali continue $X$ e $Y$ con la seguente densità di probabilità congiunta $f(x,y)=\left\{{\begin{array}{cl}{\frac {x+3y}{2}}\quad &{\text{per }}0<x<1\ {\text{e }}0<y<1\\0&{\text{altrimenti}}\end{array}}\right.$ e distribuzioni marginali $f(x)=\left\{{\begin{array}{cl}{\frac {x}{2}}+{\frac {3}{4}}\quad &{\text{per }}0<x<1\\0&{\text{altrimenti}}\end{array}}\right.$ a $f(y)=\left\{{\begin{array}{cl}{\frac {3y}{2}}+{\frac {1}{4}}\quad &{\text{per }}0<y<1\\0&{\text{altrimenti.}}\end{array}}\right.$ I valori attesi e le varianze delle distribuzioni marginali: ${\begin{aligned}E(X)&=&\int _{0}^{1}x\left({\frac {x}{2}}+{\frac {3}{4}}\right)\,dx=\left[{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{2}}{8}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{6}}+{\frac {3}{8}}={\frac {13}{24}}\\E(Y)&=&\int _{0}^{1}y\left({\frac {3y}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\,dy=\left[{\frac {y^{3}}{2}}+{\frac {y^{2}}{8}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}={\frac {5}{8}}\\Var(X)&=&\int _{0}^{1}x^{2}\left({\frac {x}{2}}+{\frac {3}{4}}\right)\,dx+\left({\frac {13}{24}}\right)^{2}=\left[{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{3}}{4}}\right]_{0}^{1}+\left({\frac {13}{24}}\right)^{2}={\frac {3}{8}}+{\frac {169}{576}}=0,\,6684\\Var(Y)&=&\int _{0}^{1}y^{2}\left({\frac {3y}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\,dy+\left({\frac {5}{8}}\right)^{2}=\left[{\frac {3y^{4}}{8}}+{\frac {y^{3}}{12}}\right]_{0}^{1}+\left({\frac {5}{8}}\right)^{2}={\frac {11}{24}}+{\frac {25}{64}}=0,\,849\\\end{aligned}}$ La covarianza à: ${\begin{aligned}Cov(X,Y)&=&\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}xy\left({\frac {x+3y}{2}}\right)\,dx\,dy-\left({\frac {13}{24}}\right)\left({\frac {5}{8}}\right)\\&=&{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x^{2}y+3xy^{2})\,dx\,dy-\left({\frac {13}{24}}\right)\left({\frac {5}{8}}\right)\\&=&{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left[{\frac {x^{2}y^{2}}{2}}+xy^{3}\right]_{0}^{1}\,dx-\left({\frac {13}{24}}\right)\left({\frac {5}{8}}\right)\\&=&{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left({\frac {x^{2}}{2}}+x\right)\,dx-\left({\frac {13}{24}}\right)\left({\frac {5}{8}}\right)\\&=&\left[{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}\,dx-\left({\frac {13}{24}}\right)\left({\frac {5}{8}}\right)\\&=&{\frac {1}{3}}-{\frac {65}{192}}=-{\frac {1}{192}}\end{aligned}}$ e il coefficiente di correlazione: $\rho (X,Y)={\frac {-{\frac {1}{192}}}{\sqrt {0,6684\cdot 0,849}}}=-0,007$

Valori attesi e varianze delle distribuzioni marginali

a) per due variabili casuali discrete

$E(X)=\sum _{i}\sum _{j}x_{i}\cdot f(x_{i},y_{j})=\sum _{i}x_{i}\sum _{j}f(x_{i},y_{j})=\sum _{i}x_{i}f(x_{i})$ $E(Y)=\sum _{j}\sum _{i}y_{j}\cdot f(x_{i},y_{j})=\sum _{j}y_{j}\sum _{i}f(x_{i},y_{j})=\sum _{j}y_{j}\cdot f(y_{j})$ $Var(X)=E[(X-E(X))]^{2}=\sum _{i}\sum _{j}[x_{i}-E(X)]^{2}f(x_{i},y_{j})=\sum _{i}[x_{i}-E(X)]^{2}\sum _{j}f(x_{i},y_{j})=$ $=\sum _{i}[x_{i}-E(X)]^{2}f(x_{i})=\sum _{i}x_{i}^{2}f(x_{i})-[E(X)]^{2}$ $Var(Y)=E[(Y-E(Y))]^{2}=\sum _{j}\sum _{i}[y_{j}-E(Y)]^{2}f(x_{i},y_{j})=\sum _{j}[y_{j}-E(Y)]^{2}\sum _{i}f(x_{i},y_{j})=$ $=\sum _{j}[y_{j}-E(Y)]^{2}f(y_{j})=\sum _{j}y_{j}^{2}f(y_{j})-[E(Y)]^{2}$

b) per due variabili casuali continue

$E(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x,y)\,dx\,dy=\int _{-\infty }^{+\infty }x\left[\int _{-\infty }^{+\infty }f(x,y\,dy\right]\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,dx$ $E(Y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }yf(x,y)\,dx\,dy=\int _{-\infty }^{+\infty }y\left[\int _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\,dx\right]\,dy=\int _{-\infty }^{+\infty }yf(y)\,dy$ $Var(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }[x-E(X)]^{2}\cdot f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-[E(X)]^{2}$ $Var(Y)=\int _{-\infty }^{+\infty }[y-E(Y)]^{2}\cdot f(y)\,dy=\int _{-\infty }^{+\infty }y^{2}f(y)\,dy-[E(Y)]^{2}$

Valori attesi e varianze delle distribuzioni condizionate

a) per due variabili casuali discrete

$E(X|y_{j})=\sum _{i}x_{i}f(x_{i}|y_{j}\,,\qquad E(Y|x_{i})=\sum _{j}y_{j}f(y_{j}|x_{i})$ $Var(X|y_{j})=\sum _{i}[x_{i}-E(X|y_{j})]^{2}f(x_{i}|y_{j})=\sum _{i}x_{i}^{2}f(x_{i}|y_{j})-[E(X|y_{j})]^{2}$ $Var(Y|x_{i})=\sum _{j}[y_{j}-E(y|x_{i})]^{2}f(y_{j}|x_{i})=\sum _{j}y_{j}^{2}f(y_{j}|x_{i})-[E(Y|x_{i})]^{2}$

b) per due variabili casuali continue

$E(X|y)=\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x|y)\,dx\,,\qquad E(Y|x)=\int _{-\infty }^{+\infty }yf(y|x)\,dx$ $Var(X|y)=\int _{-\infty }^{+\infty }[x-E(X|y)]^{2}\cdot f(x|y)\,dx$ $Var(Y|x)=\int _{-\infty }^{+\infty }[y-E(Y|x)]^{2}\cdot f(y|x)\,dy$

Covarianze:

Calcolo della covarianza tra $X$ e $Y$ nel caso in cui:

a) $X$ e $Y$ sono discrete: ${\begin{aligned}Cov(X,Y)&=&\sum _{i}\sum _{j}[x_{i}-E(X)][y_{j}-E(Y)]f(x_{i},y_{j})\\&=&\sum _{i}\sum _{j}x_{i}y_{j}f(x_{i},y_{j})-E(X)E(Y)\end{aligned}}$ b) $X$ e $Y$ sono continue:

${\begin{aligned}Cov(X,Y)&=&\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }[x-E(X)][y-E(Y)]f(x,y)\,dx\,dy\\&=&\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }xyf(x,y)\,dx\,dy-E(X)E(Y)\end{aligned}}$ Dalla definizione di covarianza si deduce che la covarianza di una variabile con se stessa corrisponde alla varianza: $Cov(X,X)=E[(X-E(X))(X-E(X))]=E[(X-E(X))^{2}]\,.$ Dalla definizione di covarianza: $Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)$ otteniamo: $E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)\,\ {\text{se }}X\ {\text{e }}Y\ {\text{sono dipendenti}}$ $E(XY)=E(X)E(Y)\,\ {\text{se }}X\ {\text{e }}Y\ {\text{sono indipendenti.}}$ Inoltre: $Var(XY)=E\{[XY-E(XY)]^{2}\}=E\{(XY)^{2}-2XYE(XY)+E(XY)E(XY)\}=$ $=E[(XY)^{2}]-2E(XY)E(XY)+E(XY)E(XY)$ $\Longrightarrow$ $Var(XY)=E[(XY)^{2}]-[E(XY)]^{2}\ {\text{per}}\ X\ {\text{e}}\ Y\ {\text{dipendenti}}$ $Var(XY)=E(X^{2})E(Y^{2})-[E(X)E(Y)]^{2}\ {\text{per}}\ X\ {\text{e}}\ Y\ {\text{independenti.}}$