Indici di forma di variabili duedimensionali

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Le speranza matematica e le varianze delle distribuzioni marginali e condizionate sono facilmente calcolabili in quanto si possono direttamente utilizzare le formule per variabili casuali unidimensionali (le distribuzioni marginali e condizionate sono unidimensionali). Gli indici pià importanti che si riferiscono alla distribuzione congiunta delle due variabili sono la covarianza e il coefficiente di correlazione.

La covarianza:

La covarianza si basa sul prodotto delle deviazioni standard delle variabili casuali e dalla rispettiva media: . La covarianza à definita come il valore atteso di questo prodotto: La covarianza misura il tipo di dipendenza tra le due variabili. Attenzione: la covarianza puà anche essere negativa! La covarianza non à compresa in un determinato intervallo di valori à quindi ‘difficile da interpretare, rimane comunque un indice molto importante soprattutto per verificare l’indipendenza: se le due variabili sono indipendenti allora la covarianza à nulla. Non vale perà la relazione inversa: se la covarianza à nulla non à detto che le due variabili siano indipendenti.

Il coefficiente di correlazione:

Il coefficiente di correlazione ci aiuta a valutare l’intensità della dipendenza tra le due variabili. Per ottenere un coefficiente compreso in un determinato intervallo di valori standardizziamo le due variabili: Il valore atteso del prodotto delle due variabili standardizzateà il coefficiente di correlazione: per . Puà essere dimostrato che: Le proprietà del coefficiente di correlazione sono:

  • Il coefficiente di correlazione ha lo stesso segno della covarianza in quanto la deviazione standard non puà essere negativa (à la radice quadrata della varianza)
  • Il coefficiente di correlazione à sempre compreso nell’intervallo
  • Il coefficiente di correlazione misura la dipendenza lineare di due variabili
  • se e solo se e sono la trasformazione lineare l’una dell’altra, ovvero: per dati
  • Se e sono indipendenti allora

Un coefficiente nullo non implica del resto l’indipendenza delle due variabili.
Se allora e non sono correlate. Due variabili non correlate possono tuttavia essere dipendenti per esempio nel caso in cui la relazione sia non lineare. Valori attesi e varianze di combinazioni lineari di variabili casuali:

(spec. )
(spec. )
(spec. a=b=1/2)


En s2 16 e 1.gif

Un promotore finanziario offre ai suoi clienti la possibilità di investire il loro patrimonio in due fondi d’investimento: Securia (S) e Technoinvest (T). Il profitto associato ad un fondo viene solitamente calcolato come rendita attesa mentre la varianza (o deviazione standard) rappresenta una misura del rischio associato al fondo. I profitti sono legati alle rendite future e per definizione le rendite sono incerte e quindi connesse ad un certo rischio. Di conseguenza, per ripartire il patrimonio tra diversi fondi con diversi livelli di rischio bisogna considerare la correlazione tra i valori attesi delle rendite. Il promotore finanziario fornisce tre scenari di sviluppo economico futuro (1—invariato, 2—recessione, 3—congiuntura), una valutazione delle probabilità del loro verificarsi e quindi una valutazione del profitto dei fondi Securia e Technoinvest nei diversi scenari.

Scenario Probabilità Profitto S (%) Profitto T (%)
1 0,5 3,5 5,0
2 0,3 4,0 - 1,0
3 0,2 2,0 7,0


Il rendimento atteso dei due fondi à quindi: le varianze e le deviazioni standard sono: La varianza delle rendite e quindi il rischio dei fondi Technoinvest (T) à maggiore di quella di Securia (S). La covarianza à data da: il coefficiente di correlazione à I rendimenti attesi dei due fondi sono quindi negativamente correlati. Il rendimento atteso del portafoglio Z dipende dalla ripartizione del patrimonio nei due fondi. Utilizzando i pesi e per S e T (), otteniemo Il rischio associato al portafoglio à ridotto se la correlazione tra i rendimenti attesi dei due fondi à negativa o comunque bassa. Dati e possiamo adesso calcolare e :




:



A parità di profitto, il rischio à inferiore se investiamo 80% nel fondo Securia (S) e 20 % nel fondo Technoinvest (T) piuttosto che investire in una proporzione di 50:50. Il rischio di questa combinazione à addirittura inferiore al rischio del fondo pià sicuro da solo.

En s2 45 f 4.gif
La polizia ha raccolto per pià anni i dati sul numero di problemi tecnici (variabile casuale ) e l’età misurata in anni delle vetture utilizzate (variabile casuale ). Per l’indagine sono state prese in considerazioni solo le macchine in circolazione da 1,2 o 3 anni. Le funzioni di probabilità congiunte e marginali delle due variabili sono indicate nella seguente tabella:

Numero di problemi () DM
1 2 3
0 0,30 0,14 0,02 0,46
1 0,18 0,10 0,02 0,30
2 0,12 0,06 0,06 0,24
DM 0,60 0,30 0,10 1,000


I valori attesi e le varianze delle distribuzioni marginali sono: Una vettura scelta a caso avrà quindi in media 0.78 problemi tecnici con una deviazione di 0.65 e sarà in media in uso già da 1.5 anni con una deviazione di 0.45 anni. La covarianza e il coefficiente di correlazione sono: Quindi il numero di problemi tecnici e l’età della vettura sono positivamente correlati.

Consideriamo le due variabili casuali continue e con la seguente densità di probabilità congiunta e distribuzioni marginali a I valori attesi e le varianze delle distribuzioni marginali: La covarianza à: e il coefficiente di correlazione:

Valori attesi e varianze delle distribuzioni marginali

a) per due variabili casuali discrete

b) per due variabili casuali continue

Valori attesi e varianze delle distribuzioni condizionate

a) per due variabili casuali discrete

b) per due variabili casuali continue

Covarianze:

Calcolo della covarianza tra e nel caso in cui:

a) e sono discrete: b) e sono continue:

Dalla definizione di covarianza si deduce che la covarianza di una variabile con se stessa corrisponde alla varianza: Dalla definizione di covarianza: otteniamo: Inoltre: