Le speranza matematica e le varianze delle distribuzioni marginali e condizionate sono facilmente calcolabili in quanto si possono direttamente utilizzare le formule per variabili casuali unidimensionali (le distribuzioni marginali e condizionate sono unidimensionali).
Gli indici pià importanti che si riferiscono alla distribuzione congiunta delle due variabili sono la covarianza e il coefficiente di correlazione.
La covarianza:
La covarianza si basa sul prodotto delle deviazioni standard delle variabili casuali
e
dalla rispettiva media:
. La covarianza
à definita come il valore atteso di questo prodotto:
La covarianza misura il tipo di dipendenza tra le due variabili. Attenzione: la covarianza puà anche essere negativa! La covarianza non à compresa in un determinato intervallo di valori à quindi ‘difficile da interpretare, rimane comunque un indice molto importante soprattutto per verificare l’indipendenza: se le due variabili sono indipendenti allora la covarianza à nulla. Non vale perà la relazione inversa: se la covarianza à nulla non à detto che le due variabili siano indipendenti.
Il coefficiente di correlazione:
Il coefficiente di correlazione ci aiuta a valutare l’intensità della dipendenza tra le due variabili. Per ottenere un coefficiente compreso in un determinato intervallo di valori standardizziamo le due variabili:
Il valore atteso del prodotto delle due variabili standardizzateà il coefficiente di correlazione:
per
. Puà essere dimostrato che:
Le proprietà del coefficiente di correlazione sono:
- Il coefficiente di correlazione ha lo stesso segno della covarianza in quanto la deviazione standard non puà essere negativa (à la radice quadrata della varianza)
- Il coefficiente di correlazione à sempre compreso nell’intervallo
![{\displaystyle [-1;+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90f1555bbff659d4d69b48a914890f5df95f2a0)
- Il coefficiente di correlazione misura la dipendenza lineare di due variabili
se e solo se
e
sono la trasformazione lineare l’una dell’altra, ovvero:
per dati 
- Se
e
sono indipendenti allora 
Un coefficiente nullo non implica del resto l’indipendenza delle due variabili.
Se
allora
e
non sono correlate. Due variabili non correlate possono tuttavia essere dipendenti per esempio nel caso in cui la relazione sia non lineare.
Valori attesi e varianze di combinazioni lineari di variabili casuali:
|
|
|
|
|
|
(spec. )
|
|
|
(spec. )
|
|
|
(spec. a=b=1/2)
|
|
|
Un promotore finanziario offre ai suoi clienti la possibilità di investire il loro patrimonio in due fondi d’investimento: Securia (S) e Technoinvest (T). Il profitto associato ad un fondo viene solitamente calcolato come rendita attesa mentre la varianza (o deviazione standard) rappresenta una misura del rischio associato al fondo. I profitti sono legati alle rendite future e per definizione le rendite sono incerte e quindi connesse ad un certo rischio. Di conseguenza, per ripartire il patrimonio tra diversi fondi con diversi livelli di rischio bisogna considerare la correlazione tra i valori attesi delle rendite. Il promotore finanziario fornisce tre scenari di sviluppo economico futuro (1—invariato, 2—recessione, 3—congiuntura), una valutazione delle probabilità del loro verificarsi e quindi una valutazione del profitto dei fondi Securia e Technoinvest nei diversi scenari.
Scenario
|
Probabilità
|
Profitto S (%)
|
Profitto T (%)
|
1
|
0,5
|
3,5
|
5,0
|
2
|
0,3
|
4,0
|
- 1,0
|
3
|
0,2
|
2,0
|
7,0
|
Il rendimento atteso dei due fondi à quindi:
le varianze e le deviazioni standard sono:
La varianza delle rendite e quindi il rischio dei fondi Technoinvest (T) à maggiore di quella di Securia (S).
La covarianza à data da:
il coefficiente di correlazione à
I rendimenti attesi dei due fondi sono quindi negativamente correlati.
Il rendimento atteso del portafoglio Z dipende dalla ripartizione del patrimonio nei due fondi. Utilizzando i pesi
e
per S e T (
), otteniemo
Il rischio associato al portafoglio à ridotto se la correlazione tra i rendimenti attesi dei due fondi à negativa o comunque bassa.
Dati
e
possiamo adesso calcolare
e
:



:



A parità di profitto, il rischio à inferiore se investiamo 80% nel fondo Securia (S) e 20 % nel fondo Technoinvest (T) piuttosto che investire in una proporzione di 50:50. Il rischio di questa combinazione à addirittura inferiore al rischio del fondo pià sicuro da solo.
La polizia ha raccolto per pià anni i dati sul numero di problemi tecnici (variabile casuale
) e l’età misurata in anni delle vetture utilizzate (variabile casuale
). Per l’indagine sono state prese in considerazioni solo le macchine in circolazione da 1,2 o 3 anni. Le funzioni di probabilità congiunte e marginali delle due variabili sono indicate nella seguente tabella:
Numero di problemi ( )
|
|
DM
|
|
|
|
1
|
2
|
3
|
|
0
|
0,30
|
0,14
|
0,02
|
0,46
|
1
|
0,18
|
0,10
|
0,02
|
0,30
|
2
|
0,12
|
0,06
|
0,06
|
0,24
|
DM
|
0,60
|
0,30
|
0,10
|
1,000
|
I valori attesi e le varianze delle distribuzioni marginali sono:
Una vettura scelta a caso avrà quindi in media 0.78 problemi tecnici con una deviazione di 0.65 e sarà in media in uso già da 1.5 anni con una deviazione di 0.45 anni.
La covarianza e il coefficiente di correlazione sono:
Quindi il numero di problemi tecnici e l’età della vettura sono positivamente correlati.
Consideriamo le due variabili casuali continue
e
con la seguente densità di probabilità congiunta
e distribuzioni marginali
a
I valori attesi e le varianze delle distribuzioni marginali:
La covarianza à:
e il coefficiente di correlazione:
Valori attesi e varianze delle distribuzioni marginali
a) per due variabili casuali discrete
b) per due variabili casuali continue
Valori attesi e varianze delle distribuzioni condizionate
a) per due variabili casuali discrete
b) per due variabili casuali continue
Covarianze:
Calcolo della covarianza tra
e
nel caso in cui:
a)
e
sono discrete:
b)
e
sono continue:
Dalla definizione di covarianza si deduce che la covarianza di una variabile con se stessa corrisponde alla varianza:
Dalla definizione di covarianza:
otteniamo:
Inoltre: