Indici di forma di una varabile casuale

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Ogni variabile casuale à pienamente descritta dalla sua densità di probabilità e dalla funzione di ripartizione. In pratica, per una caratterizzazione di una distribuzione di probabilità si utilizzano alcuni indici di forma e variabilità. I pià importanti sono presentati nel seguito.

La speranza matematica

La speranza matematica di una variabile casuale , viene indicata con o e corrisponde alla media aritmetica della distribuzione di frequenze. La speranza matematica à il valore della variabile casuale che in media ci aspettiamo di rilevare come risultato di un esperimento Se l’esperimento aleatorio viene ripetuto pià volte allora la speranza matematica à il numero che si ottiene come media di tutti i risultati ottenuti. Definizione: Consideriamo la variabile casuale discreta con possibili valori e corrispondenti probabilità ; la speranza matematica della variabile casuale à definita come segue: Per la variabile casuale continua con densità di probabilità , la speranza matematica à definita come:

Proprietà della speranza matematica:

Siano e due variabili casuali con speranza matematica e . avremo:

  • per per qualsiasi

  • per

  • per variabili casuali indipendenti

Varianza

Definizione:
La varianza à indicata con o ed à definita come speranza matematica degli scarti quadratici dalla media: Per variabili casuali discrete abbiamo: e per variabili casuali continue abbiamo:

Proprietà della varianza:

Siano e variabli casuali con varianza e :

  • per

  • per variabili casuali indipendenti e

Deviazione standard

La deviazione standard à la radice quadrata della varianza e indica la dispersione della distribuzione di probabilità della variabile casuale . Valori elevati della deviazione standard indicano che i valori assunti dalla variabile casuale possono differenziarsi di molto dalla media. Una deviazione standard piccola indica che i valori della variabile si concentrano attorno alla media. Standardizzazione Spesso à utile trasformare la variabile casuale in modo tale da ottenere una distribuzione che non dipende da alcuno degli indici pià sopra esposti. Una variabile casuale standardizzata ha una speranza matematica e una varianza .

La diseguaglianza di Tschebyschef

La diseguaglianza di Tschebyschef fornisce una della probabilità che un valore della variabile ricada entro un intervallo centrato sulla media. Per effettuare il calcolo à necessaria la conoscenza della speranza matematica e della varianza ma non della distribuzione di . Il calcolo si basa sull’intervallo centrato su . Definizione:
Data una variabile casuale con speranza matematica e varianza abbiamo per ogni per , abbiamo Per l’evento complementare che la variabile casuale assuma valori esterni all’intervallo, ovvero abbiamo che e per Si noti che le probabilità esatte e dipendono dalla particolare distribuzionedi . à una variabile casuale continua con densità di probabilità data da: La speranza matematica di à data da: La varianza à data da: La deviazione standard à quindi .
Quindi per la variabile casuale continua data otteniamo un valore medio di 4 con deviazione standard . La variabile casuale indica il numero di incidenti stradali alla settimana che si verificano ad un incrocio della città.

En s2 13 f 1.gif

I dati sono stati raccolti durante diversi anni, disponiamo quindi delle seguenti probabilità per i diversi valori di :

0 1 2 3 4 5
0,08 0,18 0,32 0,22 0,14 0,06


La speranza matamatica di , ovvero il numero di incidenti medio calcolato su molte settimane à calcolato come segue:

0 1 2 3 4 5
0,08 0,18 0,32 0,22 0,14 0,06
0 0,18 0,64 0,66 0,56 0,30


e otteniamo: Questo numero di incidenti à chiaramente impossibile. Il valore ci dà comunque il valore centrale della distribuzione di probabilità della variabilie casuale . Calcoliamo la deviazione standard:

0 1 4 9 16 25
0 0,18 1,28 1,98 2,24 1,50


All’incrocio ci saranno in media 2.34 incidenti alla settimana con una deviazione standard di .