Indici di forma di una varabile casuale

English

Português

Français

‎Español

Italiano

Nederlands

Ogni variabile casuale à pienamente descritta dalla sua densità di probabilità e dalla funzione di ripartizione. In pratica, per una caratterizzazione di una distribuzione di probabilità si utilizzano alcuni indici di forma e variabilità. I pià importanti sono presentati nel seguito.

La speranza matematica

La speranza matematica di una variabile casuale $X$, viene indicata con $E(X)$ o $\mu$ e corrisponde alla media aritmetica della distribuzione di frequenze. La speranza matematica à il valore della variabile casuale che in media ci aspettiamo di rilevare come risultato di un esperimento Se l’esperimento aleatorio viene ripetuto pià volte allora la speranza matematica $E(X)$ à il numero che si ottiene come media di tutti i risultati ottenuti. Definizione: Consideriamo la variabile casuale discreta $X$ con possibili valori $x_{i}$ e corrispondenti probabilità $f(x_{i})$; la speranza matematica della variabile casuale $X$ à definita come segue: $E(X)=\mu =\sum \limits _{i}x_{i}f(x_{i})$ Per la variabile casuale continua $X$ con densità di probabilità $f(x)$, la speranza matematica à definita come: $E(X)=\mu =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x\cdot f(x)\,dx$

Proprietà della speranza matematica:

Siano $X$ e $Y$ due variabili casuali con speranza matematica $E(X)$ e $E(Y)$. avremo:

• per $Y=a+bX$ per qualsiasi $a,b$

  $E(Y)=E(a+bX)=a+bE(X)$

• per $Z=X+Y$

  $E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

• per $X,Y$ variabili casuali indipendenti

  $E(XY)=E(X)E(Y)$

Varianza

Definizione:
La varianza à indicata con $Var(X)$ o $\sigma ^{2}$ ed à definita come speranza matematica degli scarti quadratici dalla media: $Var(X)=E[(X-E(X))^{2}]=E(X^{2})=[E(X)]^{2}$ Per variabili casuali discrete abbiamo: $Var(X)=\sigma ^{2}=\sum \limits _{i}[x_{i}-E(X)]^{2}\cdot f(x_{i})=\sum \limits _{i}x_{i}^{2}f(x_{i})-[E(X)]^{2}$ e per variabili casuali continue abbiamo: $Var(X)=\sigma ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }[x-E(X)]^{2}\cdot f(x)\,dx=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)\,dx-[E(X)]^{2}$

Proprietà della varianza:

Siano $X$ e $Y$ variabli casuali con varianza $Var(X)$ e $Var(Y)$:

• per $Y=a+bX$

  $Var(Y)=Var(a+bX)=b^{2}Var(X)$

• per $X,Y$ variabili casuali indipendenti e $Z=X+Y$

  $Var(Z)=Var(X)+Var(Y)$ $\sigma _{Z}=\sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}}}$

Deviazione standard

La deviazione standard $\sigma$ à la radice quadrata della varianza e indica la dispersione della distribuzione di probabilità della variabile casuale $X$. Valori elevati della deviazione standard indicano che i valori assunti dalla variabile casuale possono differenziarsi di molto dalla media. Una deviazione standard piccola indica che i valori della variabile si concentrano attorno alla media. Standardizzazione Spesso à utile trasformare la variabile casuale in modo tale da ottenere una distribuzione che non dipende da alcuno degli indici pià sopra esposti. Una variabile casuale standardizzata $Z={\frac {X-E(X)}{\sigma _{X}}}$ ha una speranza matematica $E(Z)=0$ e una varianza $Var(Z)=1$.

La diseguaglianza di Tschebyschef

La diseguaglianza di Tschebyschef fornisce una della probabilità che un valore della variabile ricada entro un intervallo centrato sulla media. Per effettuare il calcolo à necessaria la conoscenza della speranza matematica e della varianza ma non della distribuzione di $X$. Il calcolo si basa sull’intervallo $[\mu -k\cdot \sigma ;\mu +k\cdot \sigma ]$ centrato su $\mu$. Definizione:
Data una variabile casuale $X$ con speranza matematica $\mu$ e varianza $\sigma$ abbiamo per ogni $k>0$ $P(\mu -k\cdot \sigma \leq X\leq \mu +k\cdot \sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}$ per $k\cdot \sigma =a$, abbiamo $P(\mu -a\leq X\leq \mu +a)\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}$ Per l’evento complementare che la variabile casuale $X$ assuma valori esterni all’intervallo, ovvero $\{|X-\mu |>k\cdot \sigma \}$ abbiamo che $P(|X-\mu |>k\cdot \sigma )<1/k^{2}$ e per $k\cdot \sigma =a$ $P(|X-\mu |>a)<\sigma ^{2}/a^{2}{\text{.}}$ Si noti che le probabilità esatte $\{|X-\mu |<k\cdot \sigma \}$ e $\{|X-\mu |\leq k\cdot \sigma \}$ dipendono dalla particolare distribuzionedi $X$. $X$ à una variabile casuale continua con densità di probabilità data da: $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0,25x-0,5\ &{\text{per }}\ 2<x\leq 4\\-0,25x+1,5\ &{\text{per }}\ 4<x\leq 6\\0&{\text{altrimenti.}}\end{array}}\right.$ La speranza matematica di $X$ à data da: ${\begin{aligned}E(X)=\mu &=&\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx\\&=&\int _{2}^{4}x(0,25x-0,5)\,dx+\int _{4}^{6}x(-0,25x+1,5)\,dx\\&=&\int _{2}^{4}(0,25x^{2}-0,5x)\,dx+\int _{4}^{6}(-0,25x^{2}+1,5x)\,dx\\&=&\left[0,25{\frac {1}{3}}x^{3}-0,5{\frac {1}{2}}x^{2}\right]_{2}^{4}+\left[-0,25{\frac {1}{3}}x^{3}+1,5{\frac {1}{2}}x^{2}\right]_{4}^{6}\\&=&4\end{aligned}}$ La varianza à data da: ${\begin{aligned}Var(X)=\sigma ^{2}&=&\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx-[E(X)]^{2}\\&=&\int _{2}^{4}x^{2}(0,25x-0,5)\,dx+\int _{4}^{6}x^{2}(-0,25x+1,5)\,dx-4^{2}\\&=&\int _{2}^{4}(0,25x^{3}-0,5x^{2})\,dx+\int _{4}^{6}(-0,25x^{3}+1,5x^{2})\,dx-4^{2}\\&=&\left[0,25{\frac {1}{4}}x^{4}-0,5{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{2}^{4}+\left[-0,25{\frac {1}{4}}x^{4}+1,5{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{4}^{6}-16\\&=&0,\,6667\,.\end{aligned}}$ La deviazione standard à quindi $\sigma =0.8165$.
Quindi per la variabile casuale continua data otteniamo un valore medio di 4 con deviazione standard $0.8165$. La variabile casuale $X$ indica il numero di incidenti stradali alla settimana che si verificano ad un incrocio della città.

I dati sono stati raccolti durante diversi anni, disponiamo quindi delle seguenti probabilità per i diversi valori di $S$:

$x_{i}$	0	1	2	3	4	5
$f(x_{i})$	0,08	0,18	0,32	0,22	0,14	0,06

La speranza matamatica di $X$, ovvero il numero di incidenti medio calcolato su molte settimane à calcolato come segue:

$x_{i}$	0	1	2	3	4	5
$f(x_{i})$	0,08	0,18	0,32	0,22	0,14	0,06
$x_{i}f(x_{i})$	0	0,18	0,64	0,66	0,56	0,30

e otteniamo: $E(X)=\mu =\sum x_{i}f(x_{i})=2,34\,.$ Questo numero di incidenti à chiaramente impossibile. Il valore $E(X)=2.34$ ci dà comunque il valore centrale della distribuzione di probabilità della variabilie casuale $X$. Calcoliamo la deviazione standard:

$x_{i}^{2}$	0	1	4	9	16	25
$x_{i}^{2}f(x_{i})$	0	0,18	1,28	1,98	2,24	1,50

$Var(X)=\sigma ^{2}=\sum x_{i}^{2}f(x_{i})-\mu ^{2}=7,18-2,34^{2}=1,7044\ \Rightarrow \sigma =1,306\,.$ All’incrocio ci saranno in media 2.34 incidenti alla settimana con una deviazione standard di $1.306$.