Parámetros

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Cada variable aleatoria está completamente descrita por su función de probabilidad y su and función de distribución. Sin embargo, algunas propiedades importantes de la pueden ser caracterizadas por un número pequeño de simples parámetros. Los más importantes son los parámetros de localización y los parámetros de dispersión.

Valor esperado

El valor esperado de una variable aleatoria X, denotado por E(X) o \mu es media aritmética de la distribución de frecuencia empírica. El valor esperado es el número que, de media, esperamos obtener como resultado del experimento. Si se repite el experimento muchas veces, el valor esperado E(X) es el número que se obtiene de promediar todos los resultados del experimento. Definición: Consideremos la varible aleatoria discreta X con posibles resultados x_i que tienen como probabilidades asociadas f(x_i). Entonces, la expresión E(X) =
\mu =
\sum\limits_i x_i f(x_i) define el valor esperado de la (distribución de la) variable aleatoria X. Para una variable aleatoria continua X con densidad f(x), se define el valor esperado como E(X) = \mu = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot f(x)\, dx

Propiedades del valor esperado:

Sea X y Y dos variables aleatorias con valores esperados E(X) y E(Y). Entonces:

  • para Y = a+bX con a,b constantes

    E(Y) = E(a+bX) = a + bE(X)

  • para Z=X+Y

    E(Z) = E(X + Y) = E(X) + E(Y)

  • para X,Y variables aleatorias independientes

    E(XY) = E(X)E(Y)

Varianza

Definición:
La varianza, que normalmente se denota como Var(X) o \sigma^2 se define como el valor esperado del cuadrado de las diferencias entre la variable aleatoria y su valor esperado: Var(X) = E[(X-E(X))^2] = E(X^2) = [E(X)]^2 Para variables aleatorias discretas tenemos Var(X) = \sigma^2 = \sum\limits_i [x_i - E(X)]^2 \cdot f(x_i) = \sum\limits_i x_i^2 f(x_i) - [E(X)]^2 y para variables aleatorias continuas la varianza se define como Var(X) = \sigma^2 = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} [x - E(X)]^2 \cdot f(x) \, dx = \int\limits_{- \infty}^{ + \infty} x^2 f(x) \, dx - [E(X)]^2

Las propiedades de la varianza:

Supongamos que X e Y son dos variables aleatorias con varianzas Var(X) y Var(Y). Entonces:

  • para Y=a+bX

    Var(Y) = Var(a+bX) = b^2 Var(X)

  • para X,Y variables aleatorias independientes y Z = X + Y

    Var(Z) = Var(X) + Var(Y) \sigma_Z = \sigma_{X+Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}

Desviación típica

La desviación típica \sigma indica la raiz cuadrada de la varianza. Es el parámetro de la variable aleatoria X que describe la dispersión de la distribución. Valores grandes de la desviación típica indican que la variable aleatoria X es probable que se mueva en un rango bastante grande entorno al valor esperado. Valores más pequeños de la desviación típica indican que los valores de X se encuentran concentrados en una área pequeño entorno al valor esperado.

Estandarización

A veces, es útil transformar la variable aleatoria con el fin de obtener una distribución que no dependa de ningún parámetro (desconocido). Es fácil ver que la variable aleatoria estandarizada Z = \frac{X - E(X)}{\sigma_X} tiene como valor esperado E(Z) = 0 y varianza Var(Z)
= 1.

Desigualdad de Tschebyschef

La desigualdad de Tschebyschef facilita una para que la probabilidad de que la variable aleatoria esté dentro de un intervalo alrededor de su valor esperado. Para esto, es suficiente sólamente el valor esperado y la varianza de la distribución; no es necesario saber la distribución tal cual. El cálculo se basa en el intervalo [\mu - k \cdot \sigma ; \mu +
k \cdot \sigma] que está centrado alrededor de \mu. Definición:
Considemos la variable aleatoria X que tiene como valor esperado \mu y varianza \sigma. Entonces, para cualquier k
> 0, tenemos P(\mu - k \cdot \sigma \leq X \leq \mu + k \cdot \sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2} Denotando k \cdot \sigma = a, se obtiene P(\mu - a \leq X \leq \mu + a) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{k^2} Para el suceso complementario de que la variable aleatoria X caiga fuera del intervalo, es decir,  \{|X - \mu|> k \cdot \sigma \} De acuerdo con las fórmulas anteriores P(|X - \mu| > k \cdot \sigma) < 1/k^2 y para k \cdot \sigma = a P(|X - \mu| > a) < \sigma^2 / a^2 \text{.} Ver que las probabilidades exactas \{|X - \mu| < k \cdot \sigma \} y  \{|X - \mu| \leq k \cdot \sigma \} dependen de la distribución específica X. Sea X una variable aleatoria continua con densidad f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
            0,25 x - 0,5\ & \text{para}\ 2 < x \leq 4\\
            -0,25 x +1,5 \ & \text{para}\ 4 < x \leq 6\\
            0 & \text{en otro caso.} \end{array} \right. Calculamos el valor esperado de X: \begin{align}
E(X) = \mu & = & \int_{- \infty}^{\infty} x f(x)\, dx\\
& = & \int_2^4 x(0,25 x - 0,5)\, dx + \int_4^6 x (-0,25 x +1,5)\, dx\\
& = & \int_2^4 (0,25 x^2 - 0,5 x)\, dx + \int_4^6 (-0,25 x^2 + 1,5 x)\, dx\\
& = & \left[ 0,25 \frac{1}{3} x^3 - 0,5 \frac{1}{2} x^2 \right]_2^4 + \left[ -0,25 \frac{1}{3} x^3 + 1,5 \frac{1}{2} x^2 \right]_4^6\\
& = & 4 \end{align} Ahora calculamos la varianza: \begin{align}
Var(X) = \sigma^2 & = & \int_{- \infty}^{\infty} x^2 f(x)\, dx - [E(X)]^2\\
& = & \int_2^4 x^2(0,25 x - 0,5)\, dx + \int_4^6 x^2 (-0,25 x +1,5)\, dx - 4^2\\
& = & \int_2^4 (0,25 x^3 - 0,5 x^2)\, dx + \int_4^6 (-0,25 x^3 + 1,5 x^2)\, dx - 4^2\\
& = & \left[ 0,25 \frac{1}{4} x^4 - 0,5 \frac{1}{3} x^3 \right]_2^4 + \left[ -0,25 \frac{1}{4} x^4 + 1,5 \frac{1}{3} x^3 \right]_4^6 - 16\\
& = & 0,\,6667\, . \end{align} La desviación típica es igual a \sigma = 0.8165.
Para esta variable aleatoria continua esperamos valores que se encuentren entorno al valor 4 con una desviación típica de 0.8165. Sea la variable aleatoria X que se refiere al número de accidentes de tráfico en el cruce de la ciudad en una semana. Por los registros, sabemos las siguientes probabilidades de los posibles valores X:

x_i 0 1 2 3 4 5
f(x_i) 0,08 0,18 0,32 0,22 0,14 0,06


El valor esperado de X, es decir, la media esperada del número de accidentes durante ese periodo, puede ser calculado como:

x_i 0 1 2 3 4 5
f(x_i) 0,08 0,18 0,32 0,22 0,14 0,06
x_i f(x_i) 0 0,18 0,64 0,66 0,56 0,30


Por lo tanto E(X) = \mu = \sum x_i f(x_i) = 2,34\, . Este número de accidentes de tráfico no es posible en la realidad. El valor E(X) = 2.34 sólo muestra el centro de la función de probabilidad de la variable aleatoria X. Vamos a calcular ahora la desviación típica:

x_i^2 0 1 4 9 16 25
x_i^2 f(x_i) 0 0,18 1,28 1,98 2,24 1,50


Var (X) = \sigma^2 = \sum x_i^2 f(x_i) - \mu^2 = 7,18 - 2,34^2 = 1,7044\ \Rightarrow \sigma = 1,306\, . Podemos esperar que en ese cruce ocurran de media 2.34 accidentes de tráfico con una desviación típica de 1.306.