Variáveis Aleatórias Unidimensionais

From MM*Stat International

Jump to: navigation, search
English
Português
Français
‎Español
Italiano
Nederlands


Uma variável aleatória é definida como unidimensional se do experimento do qual ela é gerada só se possa observar variável aleátoria como resultado.

Variável Aleatória Discreta

Definição: Uma variável aleatória é chamada de discreta se o conjunto de resultados possíveis 
x_{1},x_{2},\dots é finito ou contável.

Função Densidade

Definição: A função densidade f fornece a probabilidade de que a variável aleatória X seja a x_{i}. A probabilidade de x_{i} é f(x_{i}). P(X=x_{i})=f(x_{i})\qquad i=1,2,\dots f(x_{i})\geq 0,\qquad \sum \limits_{i}f(x_{i})=1 A função densidade pode ser representada graficamente usando-se o histograma.

Função de Distribuição

Definição: A função de distribuição F de uma variável aleatória X avaliada a cada realização x é definida como a probabilidade de que o valor da variável aleatória X não seja maior que x. F(x)=P(X\leq x)=\sum\limits_{x_{i}\leq x}f(x_{i}) A função de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma função degrau crescente, cujos acréscimos ocorrem somente nos incrementos de x_{i}. Tal função é, portanto, constante entre os pontos x_{i} e x_{i+1}. A função de distribuição permite-nos computar a probabilidade de outros eventos envolvendo X:P(a<X\leq
b)=F(b)-F(a),\text{ ou }P(X>a)=1-F(a). Os dados relativos ao tamanho das famílias residentes em Berlim em abril de 1998 foram retirados da página 64 do “Statistisches Jahrbuch” publicado pelo “Statistisches Landesamt Berlin”, Kulturbuch-Verlag Berlin.

Pt s2 10 e 1.gif

Número de componentes da família Número de famílias (1000)
1 820.7
2 564.7
3 222.9
4 ou mais 195.8
Soma 1804.1

Se X representa o tamanho de uma família escolhida ao acaso em Berlim, em abril de 1998, podemos observar as seguintes realizações:

x_{1}=1\ família composta por uma pessoa
x_{2}=2\ família composta por duas pessoas
x_{3}=3\ família composta por três pessoas
x_{4}=4\ família composta por quatro ou mais pessoas

de escolhermos uma família, não podemos afirmar nada a respeito de seu tamanho. A variável aleatória associada X=\text{tamanho da família} pode tomar qualquer um dos quatro possíveis valores descritos acima. é, portanto, uma variável discreta, já que o conjunto de possíveis valores que suas realizações podem assumir é finito — os valores 1, 2, 3, ou 4. As probabilidades associadas a X são fornecidas pela distribuição de freqüências dos tamanhos das famílias em Berlim. A função densidade fornece todos as possíveis realizações da variável aleatória associada ďż˝s suas respectivas probabilidades.

Pt s2 11 e 1.gif

Número de componentes da família x_{j} f(x_{j})
1 0.4549
2 0.3130
3 0.1236
4 0.1085
Soma 1.0000

A probabilidade de que uma família selecionada em abril de 1998 em Berlim seja formada por duas pessoas (X=2) é igual a 0.313. A função de distribuição F(x)=P(X\leq
x) é:

Número de componentes da família x_{j} F(x)
1 0.4549
2 0.7679
3 0.8915
4 1.0000

De maneira análoga, a função de distribuição indica que a probabilidade de que uma famíla seja composta de, no máximo, duas pessoas (X\leq 2) é igual a 0.7679. A função de distribuição também permite-nos calcular probabilidades relacionadas a outros resultados, como por exemplo

  • a probabilidade que uma família tenha mais que dois membros (X>2) é 
P(X>2)=1-F(2)=1-0.7679=0.2321 ou P(X>2)=f(3)+f(4)=0.1236+0.1085=0.2321.
  • a probabilidade que uma família tenha mais que um membro mas menos que quatro é igual a P(1<X\leq 3)=F(3)-F(1)=0.8915-0.4549=0.4366 ou P(1<X\leq
3)=f(2)+f(3)=0.3130+0.1236=0.4366.

Contagem do número de coroas (k) resultantes de três lançamentos de uma moeda. Definimos a variável aleatória X: X=\{\,\text{ número de coroas resultantes de três lançamentos de uma moeda }\,\} com os seguintes possíveis valores x_{1}=0;x_{2}=1;x_{3}=2;x_{4}=3.

Evento E_{j} Probabilidade P(E_{j}) Número de coroas (k) x_{j} Função de probabilidade P(X=x_{j})=f(x_{j})
E_{1}=\{ccc\} P(E_{1})=0.125 x_{1}=0 f(x_{1})=0.125
E_{2}=\{cck\} P(E_{2})=0.125
E_{3}=\{ckc\} P(E_{3})=0.125 x_{2}=1 f(x_{2})=0.375
E_{4}=\{kcc\} P(E_{4})=0.125
E_{5}=\{ckk\} P(E_{5})=0.125
E_{6}=\{kck\} P(E_{6})=0.125 x_{3}=2 f(x_{3})=0.375
E_{7}=\{kkc\} P(E_{7})=0.125
E_{8}=\{kkk\} P(E_{8})=0.125 x_{4}=3 f(x_{4})=0.125

O cálculo das probabilidades P(E_j) é baseado no teorema de probabilidades de eventos independentes.

Função de distribuição da variável discreta:

Pt s2 11 f 1.gif

A função de distribuição é obtida ao se somar as probabilidades de diferentes valores da variável aleatória X. Por exemplo F(1)=f(0)+f(1)=0.125+0.375=0.5 Função de distribuição: F(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \text{for}\ x<0 \\
0.125\, & \text{for}\ 0\leq x<1 \\
0.500\, & \text{for}\ 1\leq x<2 \\
0.875\, & \text{for}\ 2\leq x<3 \\
1.000\, & \text{for}\ 3\leq x
\end{array}
\right.

Função de distribuição de uma variável aleatória discreta:

Pt s2 11 f 3.gif