La variabile casuale unidimensionale

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La variabile casuale à detta unidimensionale se per un esperimento aleatorio possiamo osservare solo variabile casuale.

Le variabili casuali discrete

Definizione: Una variabile casuale si dice discreta se si riferisce a un numero finito o a un’infinità numerabile di risultati x_1, x_2, \dots .

La funzione di probabilità

Definizione: La funzione di probabilità f definisce le probabilità con le quali una variabile casuale X assume il valore x_i. La probabilità di x_i à f(x_i). P(X = x_i) = f(x_i) \qquad i = 1, 2, \dots f(x_i) \geq 0, \qquad \sum\limits\limits_i f(x_i) = 1 La rappresentazione grafica della funzione di probabilità à data da un istogramma o da un diagramma a punti.

La funzione di ripartizione

Definizione: La funzione di ripartizione F di una variabile casuale X nel valore x definisce la probabilità che il valore della variabile casuale X non sia maggiore di x. F(x) = P(X \leq x) = \sum\limits\limits_{x_i \leq x} f(x_i) La rappresentazione grafica della funzione di ripartizione à data da una funzione a gradini. La funzione si alza nei punti x_i esattamente della quantità f(x_i) mentre tra i diversi punti x_i rimane costante. Grazie alla funzione di ripartizione si lasciano definire altre probabilità P(a < X \leq b) = F(b) - F(a), \text{ oppure } P(X > a) = 1 - F(a). A pagina 64 del “Statistisches Jahrbuch” pubblicato da “Statistisches Landesamt Berlin” edizioni Kulturbuch-Verlag Berlin à riportata la composizione delle famiglie di Berlino nel 1998.

En s2 10 e 1.gif

Numero dei componenti della famiglia Numero di famiglie (1000)
1 820,7
2 564,7
3 222,9
4 e pià 195,8
Somma 1804,1


Se X indica il numero dei componenti di una famiglia selezionata casualmente a Berlino nel 1998 allora i valori assunti dalla variabile casuale saranno:

x_1 = 1 \ famiglia composta da una persona
x_2 = 2 \ famiglia composta da due persone
x_3 = 3 \ famiglia composta da tre persone
x_4 = 4 \ famiglia composta da quattro e pià persone


di selezionare la famiglia non possiamo ancora dire niente sul numero dei suoi componenti. X = \ \text{numero dei componenti della famiglia} à quindi una variabile casuale. à discreta in quanto il numero dei valori che puà assumere à limitato ai numeri 1, 2, 3, oppure 4. Le probabilità associate ai diversi valori di X sono date dalle frequenze relative delle diverse famiglie di Berlino (utilizziamo la definizione statistica di probabilità). La funzione di probabilità fornisce la probabilità associata a ciascun valore.

En s2 11 e 1.gif

Numero di componenti della famiglia x_j f(x_j)
1 0,4549
2 0,3130
3 0,1236
4 0,1085
Somma 1,0000


La probabilità che la famiglia selezionata nell’aprile 1998 a Berlino abbia due componenti (X=2) à di 0.313. La funzione di ripartizione F(x) = P(X \leq x) à:

Numero dei componenti della famiglia x_j F(x)
1 0,4549
2 0,7679
3 0,8915
4 1,0000


Dalla funzione di ripartizione si puà per esempio dedurre che la probabilità che la famiglia selezionata abbia al massimo due componenti (X \leq 2) à di 0.7679. Si possono calcolare anche altre probabilità

  • la probabilità che la famiglia selezionata abbia pià di due componenti (X > 2) is P(X > 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,7679 = 0,2321 o

P(X > 2) = f(3) + f(4) = 0,1236 + 0,1085 = 0,2321.

  • la probabilità che la famiglia selezionata abbia pià di un componente ma al massimo tre -che abbia quindi due o tre componenti

P(1 < X \leq 3) = F(3) - F(1) = 0,8915 - 0,4549 = 0,4366 o P(1 < X \leq 3) = f(2) + f(3) = 0,3130 + 0,1236 = 0,4366. Contiamo il numero di croci (c) in tre lanci di una moneta.

En s2 10 f 4.gif

Definiamo la variabile casuale X: X = \{\,\text{Numero di croci in tre lanci della moneta}\,\} con i seguenti possibili valori x_1 = 0; x_2 = 1; x_3 = 2; x_4 = 3.

Evento E_j Probabilità P(E_j) Numero di croci (c) x_j Funzione di probabilità P(X = x_j) = f(x_j)
E_1 = \{ttt\}  P(E_1) = 0,125  x_1 = 0 f(x_1) = 0,125
E_2 = \{ttc\}  P(E_2) = 0,125
E_3 = \{tct\}  P(E_3) = 0,125  x_2 = 1 f(x_2) = 0,375
E_4 = \{ctt\}  P(E_4) = 0,125
E_5 = \{tcc\}  P(E_5) = 0,125
E_6 = \{ctc\}  P(E_6) = 0,125 x_3 = 2 f(x_3) = 0,375
E_7 = \{cct\}  P(E_7) = 0,125
E_8 = \{ccc\}  P(E_8) = 0,125  x_4 = 3  f(x_4) = 0,125


Il calcolo delle probabilità P(E_j) à stato effettuato grazie al teorema delle probabilità composte per eventi indipendenti.

La funzione di probabilità per variabili casuali discrete:

En s2 11 f 1.gif

La funzione di ripartizione à semplicemente la probabilità cumulata dei singoli eventi della variabile casuale X. Per esempio F(1) = f(0) + f(1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 Funzione di ripartizione: 
F(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
                    0 & \text{per }\ x<0\\
                    0,125 \, & \text{per }\ 0 \leq x < 1\\
                    0,500 \, & \text{per }\ 1 \leq x < 2\\
                    0,875 \, & \text{per }\ 2 \leq x < 3\\
                    1,000 \, & \text{per }\ 3 \leq x
                  \end{array} \right.

Funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta:

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