La variabile casuale unidimensionale

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La variabile casuale à detta unidimensionale se per un esperimento aleatorio possiamo osservare solo variabile casuale.

Le variabili casuali discrete

Definizione: Una variabile casuale si dice discreta se si riferisce a un numero finito o a un’infinità numerabile di risultati .

La funzione di probabilità

Definizione: La funzione di probabilità definisce le probabilità con le quali una variabile casuale assume il valore . La probabilità di à . La rappresentazione grafica della funzione di probabilità à data da un istogramma o da un diagramma a punti.

La funzione di ripartizione

Definizione: La funzione di ripartizione di una variabile casuale nel valore definisce la probabilità che il valore della variabile casuale non sia maggiore di . La rappresentazione grafica della funzione di ripartizione à data da una funzione a gradini. La funzione si alza nei punti esattamente della quantità mentre tra i diversi punti rimane costante. Grazie alla funzione di ripartizione si lasciano definire altre probabilità . A pagina 64 del “Statistisches Jahrbuch” pubblicato da “Statistisches Landesamt Berlin” edizioni Kulturbuch-Verlag Berlin à riportata la composizione delle famiglie di Berlino nel 1998.

En s2 10 e 1.gif

Numero dei componenti della famiglia Numero di famiglie (1000)
1 820,7
2 564,7
3 222,9
4 e pià 195,8
Somma 1804,1


Se indica il numero dei componenti di una famiglia selezionata casualmente a Berlino nel 1998 allora i valori assunti dalla variabile casuale saranno:

famiglia composta da una persona
famiglia composta da due persone
famiglia composta da tre persone
famiglia composta da quattro e pià persone


di selezionare la famiglia non possiamo ancora dire niente sul numero dei suoi componenti. à quindi una variabile casuale. à discreta in quanto il numero dei valori che puà assumere à limitato ai numeri 1, 2, 3, oppure 4. Le probabilità associate ai diversi valori di sono date dalle frequenze relative delle diverse famiglie di Berlino (utilizziamo la definizione statistica di probabilità). La funzione di probabilità fornisce la probabilità associata a ciascun valore.

En s2 11 e 1.gif

Numero di componenti della famiglia
1 0,4549
2 0,3130
3 0,1236
4 0,1085
Somma 1,0000


La probabilità che la famiglia selezionata nell’aprile 1998 a Berlino abbia due componenti () à di . La funzione di ripartizione à:

Numero dei componenti della famiglia
1 0,4549
2 0,7679
3 0,8915
4 1,0000


Dalla funzione di ripartizione si puà per esempio dedurre che la probabilità che la famiglia selezionata abbia al massimo due componenti () à di . Si possono calcolare anche altre probabilità

  • la probabilità che la famiglia selezionata abbia pià di due componenti () is o

.

  • la probabilità che la famiglia selezionata abbia pià di un componente ma al massimo tre -che abbia quindi due o tre componenti

o . Contiamo il numero di croci (c) in tre lanci di una moneta.

En s2 10 f 4.gif

Definiamo la variabile casuale : con i seguenti possibili valori .

Evento Probabilità Numero di croci (c) Funzione di probabilità


Il calcolo delle probabilità à stato effettuato grazie al teorema delle probabilità composte per eventi indipendenti.

La funzione di probabilità per variabili casuali discrete:

En s2 11 f 1.gif

La funzione di ripartizione à semplicemente la probabilità cumulata dei singoli eventi della variabile casuale . Per esempio Funzione di ripartizione:

Funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta:

En s2 11 f 3.gif