Variables aléatoires unidimensionnelles

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Une variable aléatoire est qualifiée d’unidimensionnelle si, lors d’une expérience , on ne s’intéresse qu’à (une seule) caractéristique.

Variables aléatoires discrètes

Définition: Une variable aléatoire est discrète si l’ ensemble de tous les résultats possibles est x_1, x_2, \dots fini ou dénombrable.

Fonction de poids

Définition: La fonction de poids f donne la probabilité (probabilité) avec laquelle le résultat de la variable aléatoire X est à la valeur x_i. La probabilité de x_i est f(x_i). P(X = x_i) = f(x_i) \qquad i = 1, 2, \dots f(x_i) \geq 0, \qquad \sum\limits\limits_i f(x_i) = 1 On peut représenter graphiquement la loi de probabilité point par point ou á l’aide dhistogrammes.

Fonction de répartition

Définition: Une fonctionde de répartition F d' une variable aléatoire X au point x est définie comme la probabilité (de l’ événement aléatoire) que la valeur la valeur de la variable aléatoire X ne soit pas plus grande que x. F(x) = P(X \leq x) = \sum\limits\limits_{x_i \leq x} f(x_i) Le graphique de la fonction ré partition d' une variable aléatoire discrète est une fonction croissante en escalier qui augmente au point correspondant aux valeurs des résultats possibles x_i. l’augmentation en un point x_i est égale à f(x_i). la fonction de répartition est constante entre les points x_i. La fonction de répartition permet de calculer la probabilité dáutres événements concernant la variable aléatoire X:
P(a < X \leq b) = F(b) - F(a), \text{ or } P(X > a) = 1 - F(a). Les tailles des ménages berlinois en avril 1988 sont données en page 64 du “Statistisches Jahrbuch” publié par “Statistisches Landesamt Berlin”, Kulturbuch-Verlag Berlin.

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taille du ménage nombre de ménages (1000)
1 820,7
2 564,7
3 222,9
4 et plus 195,8
Sum 1804,1


Soit X, la taille dún ménage choisi au hasard. On peut obtenir les résultats suivants :

x_1 = 1 \ ménage d' une personne
x_2 = 2 \ ménage de deux personnes
x_3 = 3 \ ménage de trois personnes
x_4 = 4 \ ménage de quatre personnes et plus


d�avoir choisi le ménage, on ne peut rien dire de sa taille. La valeur de la variable aléatoire peut être chacune de ces quare probabilités. X = \ \text{household size} est une variable aléatoire. Elle est discrète, car l’ ensemble de ses valeurs possibles est fini—le résultat doit être soit 1, 2, 3 ou 4. Les probabilités sont données à partir des fréquences relatives dans l’ ensemble des ménages de Berlin. La loi de probabilité nous donne un aperccu de l�ensemble des résultats possibles ainsi que de leur probabilité.

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taille du ménage x_j f(x_j)
1 0,4549
2 0,3130
3 0,1236
4 0,1085
Sum 1,0000


La probabilité que la taille du ménage choisi au hasard soit de deux (X=2), est égale to 0.313. La fonction de répartition F(x) = P(X \leq x) est:

Taille du ménage x_j F(x)
1 0,4549
2 0,7679
3 0,8915
4 1,0000


La fonction de répartition montre que la probabilité que le ménage choisi au hasard ait au moins deux membres (X \leq 2) est égale à 0.7679. Cela nous permet de calculer dáutres probabilités, par exemple :

  • la probabilité que le ménage choisi ait plus que deux membres (X > 2) est égale à :

P(X > 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,7679 = 0,2321 or
P(X > 2) = f(3) + f(4) = 0,1236 + 0,1085 = 0,2321.

  • la probabilité que le ménage choisi ait plus dún membre mais moins que quatre, c-à-d qu�il ait deux ou trois membres, est égale à :

P(1 < X \leq 3) = F(3) - F(1) = 0,8915 - 0,4549 = 0,4366 ou P(1 < X \leq 3) = f(2) + f(3) = 0,3130 + 0,1236 = 0,4366. On compte le nombre de piles (p) lors du lancer d' une pièce. On définit la variable aléatoire X: X = \{\,\text{Nombre de piles en trois lancers}\,\} avec les résultats possibles suivants x_1 = 0; x_2 = 1; x_3 =
2; x_4 = 3.

Evénement E_j Probabilité P(E_j) Nomnbre de piles (t) x_j Loi de probabilité P(X = x_j) = f(x_j)
E_1 = \{hhh\}  P(E_1) = 0,125  x_1 = 0 f(x_1) = 0,125
E_2 = \{hho\}  P(E_2) = 0,125
E_3 = \{hoh\}  P(E_3) = 0,125  x_2 = 1 f(x_2) = 0,375
E_4 = \{ohh\}  P(E_4) = 0,125
E_5 = \{hoo\}  P(E_5) = 0,125
E_6 = \{oho\}  P(E_6) = 0,125 x_3 = 2 f(x_3) = 0,375
E_7 = \{ooh\}  P(E_7) = 0,125
E_8 = \{ooo\}  P(E_8) = 0,125  x_4 = 3  f(x_4) = 0,125


Le calcul des probabiltés P(E_j) est basé sur le théorème de multiplication des événements aléatoires indépendants.

loi de probabilité d' une variables aléatoire discrète :

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La fonction de répartition est obtenue en sommant les probabilités des différents résultats de la variable aléatoire X. Par exemple F(1) = f(0) + f(1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 fonction de répartition : F(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
                    0 & \text{pro}\ x<0\\
                    0,125 \, & \text{pro}\ 0 \leq x < 1\\
                    0,500 \, & \text{pro}\ 1 \leq x < 2\\
                    0,875 \, & \text{pro}\ 2 \leq x < 3\\
                    1,000 \, & \text{pro}\ 3 \leq x
                  \end{array} \right.

Fonction de répartition d' une variable aléatoire discrète :

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