Variables aléatoires unidimensionnelles

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Une variable aléatoire est qualifiée d’unidimensionnelle si, lors d’une expérience , on ne s’intéresse qu’à (une seule) caractéristique.

Variables aléatoires discrètes

Définition: Une variable aléatoire est discrète si l’ ensemble de tous les résultats possibles est fini ou dénombrable.

Fonction de poids

Définition: La fonction de poids donne la probabilité (probabilité) avec laquelle le résultat de la variable aléatoire est à la valeur . La probabilité de est . On peut représenter graphiquement la loi de probabilité point par point ou á l’aide dhistogrammes.

Fonction de répartition

Définition: Une fonctionde de répartition d' une variable aléatoire au point est définie comme la probabilité (de l’ événement aléatoire) que la valeur la valeur de la variable aléatoire ne soit pas plus grande que . Le graphique de la fonction ré partition d' une variable aléatoire discrète est une fonction croissante en escalier qui augmente au point correspondant aux valeurs des résultats possibles . l’augmentation en un point est égale à . la fonction de répartition est constante entre les points . La fonction de répartition permet de calculer la probabilité dáutres événements concernant la variable aléatoire :
. Les tailles des ménages berlinois en avril 1988 sont données en page 64 du “Statistisches Jahrbuch” publié par “Statistisches Landesamt Berlin”, Kulturbuch-Verlag Berlin.

Fr s2 10 e 1.gif

taille du ménage nombre de ménages (1000)
1 820,7
2 564,7
3 222,9
4 et plus 195,8
Sum 1804,1


Soit , la taille dún ménage choisi au hasard. On peut obtenir les résultats suivants :

ménage d' une personne
ménage de deux personnes
ménage de trois personnes
ménage de quatre personnes et plus


d�avoir choisi le ménage, on ne peut rien dire de sa taille. La valeur de la variable aléatoire peut être chacune de ces quare probabilités. est une variable aléatoire. Elle est discrète, car l’ ensemble de ses valeurs possibles est fini—le résultat doit être soit 1, 2, 3 ou 4. Les probabilités sont données à partir des fréquences relatives dans l’ ensemble des ménages de Berlin. La loi de probabilité nous donne un aperccu de l�ensemble des résultats possibles ainsi que de leur probabilité.

Fr s2 11 e 1.gif

taille du ménage
1 0,4549
2 0,3130
3 0,1236
4 0,1085
Sum 1,0000


La probabilité que la taille du ménage choisi au hasard soit de deux (), est égale to . La fonction de répartition est:

Taille du ménage
1 0,4549
2 0,7679
3 0,8915
4 1,0000


La fonction de répartition montre que la probabilité que le ménage choisi au hasard ait au moins deux membres () est égale à . Cela nous permet de calculer dáutres probabilités, par exemple :

  • la probabilité que le ménage choisi ait plus que deux membres () est égale à :

or
.

  • la probabilité que le ménage choisi ait plus dún membre mais moins que quatre, c-à-d qu�il ait deux ou trois membres, est égale à :

ou . On compte le nombre de piles (p) lors du lancer d' une pièce. On définit la variable aléatoire : avec les résultats possibles suivants .

Evénement Probabilité Nomnbre de piles (t) Loi de probabilité


Le calcul des probabiltés est basé sur le théorème de multiplication des événements aléatoires indépendants.

loi de probabilité d' une variables aléatoire discrète :

Fr s2 11 f 1.gif

La fonction de répartition est obtenue en sommant les probabilités des différents résultats de la variable aléatoire . Par exemple fonction de répartition :

Fonction de répartition d' une variable aléatoire discrète :

Fr s2 11 f 3.gif