Variables aléatoires unidimensionnelles

English

Português

Français

‎Español

Italiano

Nederlands

Une variable aléatoire est qualifiée d’unidimensionnelle si, lors d’une expérience , on ne s’intéresse qu’à (une seule) caractéristique.

Variables aléatoires discrètes

Définition: Une variable aléatoire est discrète si l’ ensemble de tous les résultats possibles est $x_1, x_2, \dots$ fini ou dénombrable.

Fonction de poids

Définition: La fonction de poids $f$ donne la probabilité (probabilité) avec laquelle le résultat de la variable aléatoire $X$ est à la valeur $x_i$. La probabilité de $x_i$ est $f(x_i)$. $P(X = x_i) = f(x_i) \qquad i = 1, 2, \dots$ $f(x_i) \geq 0, \qquad \sum\limits\limits_i f(x_i) = 1$ On peut représenter graphiquement la loi de probabilité point par point ou á l’aide dhistogrammes.

Fonction de répartition

Définition: Une fonctionde de répartition $F$ d' une variable aléatoire $X$ au point $x$ est définie comme la probabilité (de l’ événement aléatoire) que la valeur la valeur de la variable aléatoire $X$ ne soit pas plus grande que $x$. $F(x) = P(X \leq x) = \sum\limits\limits_{x_i \leq x} f(x_i)$ Le graphique de la fonction ré partition d' une variable aléatoire discrète est une fonction croissante en escalier qui augmente au point correspondant aux valeurs des résultats possibles $x_i$. l’augmentation en un point $x_i$ est égale à $f(x_i)$. la fonction de répartition est constante entre les points $x_i$. La fonction de répartition permet de calculer la probabilité dáutres événements concernant la variable aléatoire $X$:
$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a), \text{ or } P(X > a) = 1 - F(a)$. Les tailles des ménages berlinois en avril 1988 sont données en page 64 du “Statistisches Jahrbuch” publié par “Statistisches Landesamt Berlin”, Kulturbuch-Verlag Berlin.

taille du ménage	nombre de ménages (1000)
1	820,7
2	564,7
3	222,9
4 et plus	195,8
Sum	1804,1

Soit $X$, la taille dún ménage choisi au hasard. On peut obtenir les résultats suivants :

$x_1 = 1 \$	ménage d' une personne
$x_2 = 2 \$	ménage de deux personnes
$x_3 = 3 \$	ménage de trois personnes
$x_4 = 4 \$	ménage de quatre personnes et plus

d�avoir choisi le ménage, on ne peut rien dire de sa taille. La valeur de la variable aléatoire peut être chacune de ces quare probabilités. $X = \ \text{household size}$ est une variable aléatoire. Elle est discrète, car l’ ensemble de ses valeurs possibles est fini—le résultat doit être soit 1, 2, 3 ou 4. Les probabilités sont données à partir des fréquences relatives dans l’ ensemble des ménages de Berlin. La loi de probabilité nous donne un aperccu de l�ensemble des résultats possibles ainsi que de leur probabilité.

taille du ménage $x_j$	$f(x_j)$
1	0,4549
2	0,3130
3	0,1236
4	0,1085
Sum	1,0000

La probabilité que la taille du ménage choisi au hasard soit de deux ($X=2$), est égale to $0.313$. La fonction de répartition $F(x) = P(X \leq x)$ est:

Taille du ménage $x_j$	$F(x)$
1	0,4549
2	0,7679
3	0,8915
4	1,0000

La fonction de répartition montre que la probabilité que le ménage choisi au hasard ait au moins deux membres ($X \leq 2$) est égale à $0.7679$. Cela nous permet de calculer dáutres probabilités, par exemple :

• la probabilité que le ménage choisi ait plus que deux membres ($X > 2$) est égale à :
  

$P(X > 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,7679 = 0,2321$ or
$P(X > 2) = f(3) + f(4) = 0,1236 + 0,1085 = 0,2321$.

• la probabilité que le ménage choisi ait plus dún membre mais moins que quatre, c-à-d qu�il ait deux ou trois membres, est égale à :
  

$P(1 < X \leq 3) = F(3) - F(1) = 0,8915 - 0,4549 = 0,4366$ ou $P(1 < X \leq 3) = f(2) + f(3) = 0,3130 + 0,1236 = 0,4366$. On compte le nombre de piles (p) lors du lancer d' une pièce. On définit la variable aléatoire $X$: $X = \{\,\text{Nombre de piles en trois lancers}\,\}$ avec les résultats possibles suivants $x_1 = 0; x_2 = 1; x_3 = 2; x_4 = 3$.

Evénement $E_j$	Probabilité $P(E_j)$	Nomnbre de piles (t) $x_j$	Loi de probabilité $P(X = x_j) = f(x_j)$
$E_1 = \{hhh\}$	$P(E_1) = 0,125$	$x_1 = 0$	$f(x_1) = 0,125$
$E_2 = \{hho\}$	$P(E_2) = 0,125$
$E_3 = \{hoh\}$	$P(E_3) = 0,125$	$x_2 = 1$	$f(x_2) = 0,375$
$E_4 = \{ohh\}$	$P(E_4) = 0,125$
$E_5 = \{hoo\}$	$P(E_5) = 0,125$
$E_6 = \{oho\}$	$P(E_6) = 0,125$	$x_3 = 2$	$f(x_3) = 0,375$
$E_7 = \{ooh\}$	$P(E_7) = 0,125$
$E_8 = \{ooo\}$	$P(E_8) = 0,125$	$x_4 = 3$	$f(x_4) = 0,125$

Le calcul des probabiltés $P(E_j)$ est basé sur le théorème de multiplication des événements aléatoires indépendants.

loi de probabilité d' une variables aléatoire discrète :

La fonction de répartition est obtenue en sommant les probabilités des différents résultats de la variable aléatoire $X$. Par exemple $F(1) = f(0) + f(1) = 0,125 + 0,375 = 0,5$ fonction de répartition : $F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{pro}\ x<0\\ 0,125 \, & \text{pro}\ 0 \leq x < 1\\ 0,500 \, & \text{pro}\ 1 \leq x < 2\\ 0,875 \, & \text{pro}\ 2 \leq x < 3\\ 1,000 \, & \text{pro}\ 3 \leq x \end{array} \right.$

Fonction de répartition d' une variable aléatoire discrète :