Variables aléatoires unidimensionnelles

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Une variable aléatoire est qualifiée d’unidimensionnelle si, lors d’une expérience , on ne s’intéresse qu’à (une seule) caractéristique.

Variables aléatoires discrètes

Définition: Une variable aléatoire est discrète si l’ ensemble de tous les résultats possibles est $x_{1},x_{2},\dots$ fini ou dénombrable.

Fonction de poids

Définition: La fonction de poids $f$ donne la probabilité (probabilité) avec laquelle le résultat de la variable aléatoire $X$ est à la valeur $x_{i}$. La probabilité de $x_{i}$ est $f(x_{i})$. $P(X=x_{i})=f(x_{i})\qquad i=1,2,\dots$ $f(x_{i})\geq 0,\qquad \sum \limits \limits _{i}f(x_{i})=1$ On peut représenter graphiquement la loi de probabilité point par point ou á l’aide dhistogrammes.

Fonction de répartition

Définition: Une fonctionde de répartition $F$ d' une variable aléatoire $X$ au point $x$ est définie comme la probabilité (de l’ événement aléatoire) que la valeur la valeur de la variable aléatoire $X$ ne soit pas plus grande que $x$. $F(x)=P(X\leq x)=\sum \limits \limits _{x_{i}\leq x}f(x_{i})$ Le graphique de la fonction ré partition d' une variable aléatoire discrète est une fonction croissante en escalier qui augmente au point correspondant aux valeurs des résultats possibles $x_{i}$. l’augmentation en un point $x_{i}$ est égale à $f(x_{i})$. la fonction de répartition est constante entre les points $x_{i}$. La fonction de répartition permet de calculer la probabilité dáutres événements concernant la variable aléatoire $X$:
$P(a<X\leq b)=F(b)-F(a),{\text{ or }}P(X>a)=1-F(a)$. Les tailles des ménages berlinois en avril 1988 sont données en page 64 du “Statistisches Jahrbuch” publié par “Statistisches Landesamt Berlin”, Kulturbuch-Verlag Berlin.

taille du ménage	nombre de ménages (1000)
1	820,7
2	564,7
3	222,9
4 et plus	195,8
Sum	1804,1

Soit $X$, la taille dún ménage choisi au hasard. On peut obtenir les résultats suivants :

$x_{1}=1\$	ménage d' une personne
$x_{2}=2\$	ménage de deux personnes
$x_{3}=3\$	ménage de trois personnes
$x_{4}=4\$	ménage de quatre personnes et plus

d�avoir choisi le ménage, on ne peut rien dire de sa taille. La valeur de la variable aléatoire peut être chacune de ces quare probabilités. $X=\ {\text{household size}}$ est une variable aléatoire. Elle est discrète, car l’ ensemble de ses valeurs possibles est fini—le résultat doit être soit 1, 2, 3 ou 4. Les probabilités sont données à partir des fréquences relatives dans l’ ensemble des ménages de Berlin. La loi de probabilité nous donne un aperccu de l�ensemble des résultats possibles ainsi que de leur probabilité.

taille du ménage $x_{j}$	$f(x_{j})$
1	0,4549
2	0,3130
3	0,1236
4	0,1085
Sum	1,0000

La probabilité que la taille du ménage choisi au hasard soit de deux ($X=2$), est égale to $0.313$. La fonction de répartition $F(x)=P(X\leq x)$ est:

Taille du ménage $x_{j}$	$F(x)$
1	0,4549
2	0,7679
3	0,8915
4	1,0000

La fonction de répartition montre que la probabilité que le ménage choisi au hasard ait au moins deux membres ($X\leq 2$) est égale à $0.7679$. Cela nous permet de calculer dáutres probabilités, par exemple :

• la probabilité que le ménage choisi ait plus que deux membres ($X>2$) est égale à :
  

$P(X>2)=1-F(2)=1-0,7679=0,2321$ or
$P(X>2)=f(3)+f(4)=0,1236+0,1085=0,2321$.

• la probabilité que le ménage choisi ait plus dún membre mais moins que quatre, c-à-d qu�il ait deux ou trois membres, est égale à :
  

$P(1<X\leq 3)=F(3)-F(1)=0,8915-0,4549=0,4366$ ou $P(1<X\leq 3)=f(2)+f(3)=0,3130+0,1236=0,4366$. On compte le nombre de piles (p) lors du lancer d' une pièce. On définit la variable aléatoire $X$: $X=\{\,{\text{Nombre de piles en trois lancers}}\,\}$ avec les résultats possibles suivants $x_{1}=0;x_{2}=1;x_{3}=2;x_{4}=3$.

Evénement $E_{j}$	Probabilité $P(E_{j})$	Nomnbre de piles (t) $x_{j}$	Loi de probabilité $P(X=x_{j})=f(x_{j})$
$E_{1}=\{hhh\}$	$P(E_{1})=0,125$	$x_{1}=0$	$f(x_{1})=0,125$
$E_{2}=\{hho\}$	$P(E_{2})=0,125$
$E_{3}=\{hoh\}$	$P(E_{3})=0,125$	$x_{2}=1$	$f(x_{2})=0,375$
$E_{4}=\{ohh\}$	$P(E_{4})=0,125$
$E_{5}=\{hoo\}$	$P(E_{5})=0,125$
$E_{6}=\{oho\}$	$P(E_{6})=0,125$	$x_{3}=2$	$f(x_{3})=0,375$
$E_{7}=\{ooh\}$	$P(E_{7})=0,125$
$E_{8}=\{ooo\}$	$P(E_{8})=0,125$	$x_{4}=3$	$f(x_{4})=0,125$

Le calcul des probabiltés $P(E_{j})$ est basé sur le théorème de multiplication des événements aléatoires indépendants.

loi de probabilité d' une variables aléatoire discrète :

La fonction de répartition est obtenue en sommant les probabilités des différents résultats de la variable aléatoire $X$. Par exemple $F(1)=f(0)+f(1)=0,125+0,375=0,5$ fonction de répartition : $F(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0&{\text{pro}}\ x<0\\0,125\,&{\text{pro}}\ 0\leq x<1\\0,500\,&{\text{pro}}\ 1\leq x<2\\0,875\,&{\text{pro}}\ 2\leq x<3\\1,000\,&{\text{pro}}\ 3\leq x\end{array}}\right.$

Fonction de répartition d' une variable aléatoire discrète :