Variables Aleatorias Unidimensionales

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Las variables aleatorias se denominan unidimensionales si en un experimento consideramos sólo resultado.

Variable aleatoria discreta

Definición: Una variable aleatoria se denomina discreta si el conjunto de todos sus posibles resultados x_1, x_2, \dots es finito o infinito numerable.

Función de probabilidad

Definición: La funcíon de probabilidad f da la probabilidad de que el resultado de una variable aleatoria sea X al valor x_i. La probabilidad de x_i es f(x_i). P(X = x_i) = f(x_i) \qquad i
= 1, 2, \dots f(x_i) \geq 0, \qquad \sum\limits\limits_i
f(x_i) = 1 La representación gráfica de la función de probabilidad se puede realizar utilizando un gráfico de probabilidad o histograma.

Función de distribución

Definición: La función de distribución F de una variable aleatoria X en el punto x se define como la probabilidad (del suceso aleatorio) de que el valor de la variable aleatoria X no sea mayor que x. F(x) = P(X \leq x) = \sum\limits\limits_{x_i
\leq x} f(x_i) El gráfico de la función de distribución de una variable aleatoria es una función escalón que aumenta sólo en los puntos (posibles resultados) x_i. El incremento en el punto x_i es igual a f(x_i). La función de distribución es constante entre los puntos x_i. La función de distribución nos permite calcular probabilidades de otros sucesos que se refieren a la variable aleatoria X:
P(a < X \leq b) = F(b) - F(a), \text{ o } P(X > a) = 1 - F(a). El tamaño de los hogares en Berlin en Abril de 1998 se da en la página 64 del “Statistisches Jahrbuch” (anuario estadístico) publicado por “Statistisches Landesamt Berlin”, Kulturbuch-Verlag Berlin.

Es s2 10 e 1.gif

Tamaño del hogar Número de hogares (1000)
1 820,7
2 564,7
3 222,9
4 y más 195,8
Sum 1804,1


Sea X el tamaño de un hogar elegido al azar en Berlin en 1998. Obtenemos los siguientes resultados:

x_1 = 1 \ hogar con una persona
x_2 = 2 \ hogar con dos personas
x_3 = 3 \ hogar con tres personas
x_4 = 4 \ hogar con cuatro personas o más


de elegir el hogar, no podemos decir nada sobre el tamaño. El valor de la variable aleatoria puede ser cualquiera de las cuatro posibilidades. X = \ \text{tamaño del hogar} es una variable aleatoria. Es discreta, porque el conjunto de posibles valores es finito—el resultado tiene que ser uno de los números 1, 2, 3, o 4. Las probabilidades son dadas por las frecuencias relativas en el conjunto de los hogares de Berlin. La función de probabilidad suministra una visión general de todos los posibles resultados junto con sus probabilidades.

Es s2 11 e 1.gif

Tamaño del hogar x_j f(x_j)
1 0,4549
2 0,3130
3 0,1236
4 0,1085
Suma 1,0000


La probabilidad de que un hogar elegido aleatoriamente (en Berlin en 1998) esté compuesto por dos personas (X=2) es igual a 0.313. La función de distribución F(x) = P(X \leq x) es:

Tamaño del hogar x_j F(x)
1 0,4549
2 0,7679
3 0,8915
4 1,0000


La función de distribución muestra la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga más de dos miembros (X \leq 2) es igual a 0.7679. Esto nos permite calcular otro tipo de probabilidades, por ejemplo

  • la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga más de dos miembros (X > 2) es P(X > 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,7679 = 0,2321 o

P(X > 2) = f(3) + f(4) = 0,1236 + 0,1085 = 0,2321.

  • la probabilidad de que un hogar elegido aleatoriamente tenga más de un mienbro pero menos de cuatro, es decir, que tenga dos o tres miembros es

P(1 < X \leq 3) = F(3) - F(1) = 0,8915 - 0,4549 = 0,4366 o P(1 < X \leq 3) = f(2) + f(3) = 0,3130 + 0,1236 = 0,4366. Contamos el número de caras (t) en tres lanzamientos de una moneda. Definimos la variable aleatoria X: X = \{\,\text{El número de caras en tres lanzamientos de una moneda}\,\} con los siguientes resultados posibles x_1 = 0; x_2 = 1; x_3 = 2; x_4 =
3.

Suceso E_j Probabilidad P(E_j) Número de caras (t) x_j Función de probabilidad P(X = x_j) = f(x_j)
E_1 = \{hhh\}  P(E_1) = 0,125  x_1 = 0 f(x_1) = 0,125
E_2 = \{hho\}  P(E_2) = 0,125
E_3 = \{hoh\}  P(E_3) = 0,125  x_2 = 1 f(x_2) = 0,375
E_4 = \{ohh\}  P(E_4) = 0,125
E_5 = \{hoo\}  P(E_5) = 0,125
E_6 = \{oho\}  P(E_6) = 0,125 x_3 = 2 f(x_3) = 0,375
E_7 = \{ooh\}  P(E_7) = 0,125
E_8 = \{ooo\}  P(E_8) = 0,125  x_4 = 3  f(x_4) = 0,125


El cálculo de las probabilidades P(E_j) está basado en el Teorema del Producto para sucesos aleatorios independientes.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta:

Es s2 11 f 1.gif

La función de distribución se obtiene mediante la suma de las probabilidades de los distintos resultados de la variable aleatoria X. Por ejemplo F(1) = f(0) + f(1) = 0,125 + 0,375 =
0,5 Función de distribución: F(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
                    0 & \text{si}\ x<0\\
                    0,125 \, & \text{si}\ 0 \leq x < 1\\
                    0,500 \, & \text{si}\ 1 \leq x < 2\\
                    0,875 \, & \text{si}\ 2 \leq x < 3\\
                    1,000 \, & \text{si}\ 3 \leq x
                  \end{array} \right.

La función de distribución de una variable aleatoria discreta:

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