Le variabili casuali continue

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Definizione: La variabile casuale continua puà assumere ogni possibile valore compreso in un intervallo finito o infinito.

La densità di probabilità

Data la funzione con le proprietà: allora la funzione à detta densità di probabilità della variabile casuale continua .

La funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione à definita come:

Il valore della funzione di ripartizione corrisponde all’area sottesa alla curva della densità di probabilità nell’intervallo .

En s2 12 5.gif

Se la funzione di ripartizione à derivabile, la sua derivata à la densità di probabilità: Sono stati registrati i periodi di attesa alle casse di un supermarket. Le frequenze relative osservate sono state le seguenti:

En s2 12 e 7.gif

Minuti di attesa Frequenze relative Frequenze relative cumulate
8,0 - 8,5 0,002 0,002
8,5 - 9,0 0,004 0,006
9,0 - 9,5 0,009 0,015
9,5 - 10,0 0,013 0,028
10,0 - 10,5 0,020 0,048
10,5 - 11,0 0,043 0,091
11,0 - 11,5 0,094 0,185
11,5 - 12,0 0,135 0,320
12,0 - 12,5 0,169 0,489
12,5 - 13,0 0,158 0,647
13,0 - 13,5 0,139 0,786
13,5 - 14,0 0,078 0,864
14,0 - 14,5 0,065 0,929
14,5 - 15,0 0,030 0,959
15,0 - 15,5 0,010 0,969
15,5 - 16,0 0,014 0,983
16,0 - 16,5 0,006 0,989
16,5 - 17,0 0,004 0,993
16,0 - 17,5 0,003 0,996
17,5 - 18,0 0,004 1,000


Le frequenze relative sono state utilizzate per costruire l’istogramma e il poligono. Fig. 1: Istogramma: tempo di attesa

En s2 12 e 1.gif

Fig. 2: Poligono: tempo di attesa

En s2 12 e 2.gif

La variabile casuale continua à suddivisa in classi di uguale ampiezza di min. Le probabilità sono approssimate dalle frequenze relative (definizione statistica di probabilità).
Attenzione: Nell’istogramma della Fig. 1, le probabilità sono rispecchiate nell’altezza e non nell’area dei rettangoli. Cià avviene perchà la base di ciascun rettangolo à di 0,5 e quindi l’area di ciascun rettangolo à data dalla sua altezza moltiplicata per 0,5 e l’area totale di tutti i rettangoli à di 0,5 invece che 1. Alnalogamente il poligono della Fig. 2 non puà essere una densità di probabilità in quanto la seguente proprietà non à soddisfatta: Per ottenere la curva della densità di probabilità dobbiamo dividere le frequenze relative per l’ampiezza della classe ottenendo la densità di frequenza.

Tempo di attesa densità di frequenza relativa
8,0 - 8,5 0,004
8,5 - 9,0 0,008
9,0 - 9,5 0,018
9,5 - 10,0 0,026
10,0 - 10,5 0,040
10,5 - 11,0 0,086
11,0 - 11,5 0,188
11,5 - 12,0 0,270
12,0 - 12,5 0,338
12,5 - 13,0 0,316
13,0 - 13,5 0,278
13,5 - 14,0 0,156
14,0 - 14,5 0,130
14,5 - 15,0 0,060
15,0 - 15,5 0,020
15,5 - 16,0 0,028
16,0 - 16,5 0,012
16,5 - 17,0 0,008
16,0 - 17,5 0,006
17,5 - 18,0 0,008


Utilizzando la densità di frequenza otteniamo un altro istogramma e una funzione di densità di probabilità. Fig. 3: Istogramma: tempo d’attesa utilizzando le densità di frequenze relative

En s2 12 e 4.gif

Fig. 4: Densità di probabilità di

En s2 12 e 5.gif

Nell’istogramma nella Fig. 3, le probabilità sono rappresentate dall’area dei rettangoli e quindi la somma delle aree di tutti i rettangoli à uguale a 1. Nella Fig. 4 à rappresentata una densità di probabilità approssimativa della variabile casuale . La corrispondente funzione di ripartizione à mostrata nella Fig. 5. Fig. 5: Funzione di ripartizione di

En s2 12 e 6.gif

La probabilità che il tempo di attesa di un cliente sia compreso tra 10 e 15 minuti à di . In questo caso non ha nessuna importanza se si includono o se si escludono gli estremi della diseguaglianza di cui sopra. Consideriamo la funzione Rappresenta questa funzione una densità di probabilità? Per rispondere a tale domanda bisogna verificare Quindi à una densità di probabilità triangolare come mostrato dal grafico di seguito.

En s2 12 f 4.gif

La densità di probabilità di una variabile casuale continua ha le seguenti proprietà:

  • non puà essere negativa
  • l’area sottesa alla curva di densità à sempre uguale a 1
  • la probabilità che la variabile casuale cada tra e à uguale all’area delimitata dalla densità di probabilità e l’asse delle ascisse nell’intervallo

Cià significa che la densità di probabilità non definisce la probabilità per un valore puntuale assunto dalla variabile casuale ma per un intervallo per quanto infinitesimo esso sia .
Infatti la probabilità che la variabile casuale continua assuma un valore reale puntuale à nulla in quanto l’area sotto a quel punto à uguale a zero: Cià implica che la probabilità che la variabile casuale continua assuma un valore compreso nell’intervallo non à influenzata dal fatto che tale intervallo sia aperto o chiuso.

En s2 12 m 3.gif

Gli istogrammi mostrano come con un crescente numero di osservazioni si possa approssimare la densità di probabilità con una curva continua.
L’area compresa tra e corrisponde alla probabilità che il valore della variabile casuale sia compreso nell’intervallo . La probabilità puà quindi essere calcolata con un integrale. La funzione di ripartizione definisce la probabilità che la variabile casuale minore o uguale ad . Le sue proprietà sono:

  • à una funzione monotona crescente, per
  • à continua

La funzione di ripartizione non puà essere decrescente in quanto non possono esserci probabilità negative. La funzione di ripartizione à in generale definita per i numeri reali, l’area di definizione à quindi necessaria per una descrizione completa della funzione.