Variables aleatorias continuas unidimensionales

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Definición: Los valores de las variables aleatorias continuas pueden ser todos los números reales en un intervalo dado, ya sea finito o infinito.

Función de densidad

Supongamos que existe una función f(x) con las siguientes propiedades: P(a < X \leq b) = \int\limits_a^b f(x)\, dx ;\ a
\leq b f(x) \geq 0 \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} f(x)
\, dx = 1 Cada función f(x) se denomina densidad de la variable aleatoria continua X. La variable aleatoria X se llama continua si tiene densidad.

Función de distribución La función de distribución puede ser calculada a partir de la densidad:

\begin{align}
F(x) & = & P(- \infty < X \leq x)\\
& = & \int\limits_{- \infty}^x f(t) \, dt.\end{align}

El valor de la función de distribución F(x) es igual al area que se encuentra bajo la densidad f(u) entre -\infty < u \leq
x.

Es s2 12 5.gif

La densidad, si existe, se puede calcular como la primera derivada de la función de distribución: \frac{\partial
F(x)}{\partial x} = F'(x) = f(x) \text{.} El tiempo de espera (en minutos) que los clientes tienen que esperar en un supermercado. Del experimento resultó la siguiente frecuencia de distribución:

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Tiempo de espera Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada
8,0 - 8,5 0,002 0,002
8,5 - 9,0 0,004 0,006
9,0 - 9,5 0,009 0,015
9,5 - 10,0 0,013 0,028
10,0 - 10,5 0,020 0,048
10,5 - 11,0 0,043 0,091
11,0 - 11,5 0,094 0,185
11,5 - 12,0 0,135 0,320
12,0 - 12,5 0,169 0,489
12,5 - 13,0 0,158 0,647
13,0 - 13,5 0,139 0,786
13,5 - 14,0 0,078 0,864
14,0 - 14,5 0,065 0,929
14,5 - 15,0 0,030 0,959
15,0 - 15,5 0,010 0,969
15,5 - 16,0 0,014 0,983
16,0 - 16,5 0,006 0,989
16,5 - 17,0 0,004 0,993
16,0 - 17,5 0,003 0,996
17,5 - 18,0 0,004 1,000


Las frecuencias relativas se usan para construir el histograma de frecuencia y el polígono de frecuencia. Fig. 1: Histograma de tiempo de espera

Es s2 12 e 1.gif

Fig. 2: Polígono de tiempo de espera

Es s2 12 e 2.gif

La variable aleatoria continua X =
\{\,\text{tiempo de espera}\,\} define grupos (depósitos) con amplitudes constantes 0.5 min. Las probabilidades son aproximadas mediante frecuencias relativas (definición estadística de la probabilidad).
Atención: En el histograma de la Fig. 1, las probabilidades son dadas por la altura de las cajas (y no el área de las cajas). Esto implica que la suma de las áreas de todas las cajas es igual a 0.5 (y no a 1). De forma similar, el polígono de la Fig. 2 no puede ser una densidad porque no satisface que \int_{ -\infty}^{+ \infty} f(x)\, dx = 1 \, . Con el fin de calcular la densidad de X, calculamos la densidad de la frecuencia relativa la cual se obtiene como la fracción entre las frecuencias relativas y las amplitudes de los correspondientes grupos.

Tiempo de espera Densidad de frecuencia relativa
8,0 - 8,5 0,004
8,5 - 9,0 0,008
9,0 - 9,5 0,018
9,5 - 10,0 0,026
10,0 - 10,5 0,040
10,5 - 11,0 0,086
11,0 - 11,5 0,188
11,5 - 12,0 0,270
12,0 - 12,5 0,338
12,5 - 13,0 0,316
13,0 - 13,5 0,278
13,5 - 14,0 0,156
14,0 - 14,5 0,130
14,5 - 15,0 0,060
15,0 - 15,5 0,020
15,5 - 16,0 0,028
16,0 - 16,5 0,012
16,5 - 17,0 0,008
16,0 - 17,5 0,006
17,5 - 18,0 0,008


Utilizando la densidad de frecuencia relativa se obtiene otro histograma y otra función de densidad suave. Fig. 3: Histograma de tiempo de espera utilizando la densidad de frecuencia relativa

Es s2 12 e 4.gif

Fig. 4: Densidad de X

Es s2 12 e 5.gif

En el histograma de la Fig. 3,las probabilidades de los grupos son dadas por el area. Esto implica que la suma de todas las areas es igual a uno. La densidad de la la Fig. 4 es (aproximadamente) la función de densidad de la variable aleatoria (continua) X
=
\{\,\text{tiempo de espera de los clientes}\,\}. La función de distribución correspondiente F(x) viene dada en la fingura Fig. 5. Fig. 5: Función de distribución de X

Es s2 12 e 6.gif

Consideremos la función f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
            0,25 x - 0,5\ & \text{para}\ 2 < x \leq 4\\
            -0,25 x +1,5 \ & \text{para}\ 4 < x \leq 6\\
            0 & \text{en otro caso.} \end{array} \right. ?‘Es una función de densidad? Tenemos que verificar si \int_{- \infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1\, \text{:} \begin{align}
\int_{- \infty}^{\infty} f(x) \, dx & = & \int_{2}^{4} (0,25 x -0,5) \, dx + \int_{4}^{6} (-0,25 x +1,25) \, dx\\
& = & \left[ 0,25 \frac{1}{2} x^2 - 0,5x \right]_2^4 + \left[ -0,25 \frac{1}{2} x^2 + 1,5x \right]_4^6 = 1\end{align} Esto significa que f(x) es una densidad. Particularmente, es la densidad de la distribución triangular (le pusieron el nombre de la forma de la densidad de la siguiente figura).

Es s2 12 f 4.gif

La densidad de una variable aleatoria continua tiene las siguientes propiedades:

  • No puede ser negativa
  • El área bajo la curva es igual a uno
  • La probabilidad de que la variable aleatoria X esté entre a y b es igual al área entre la densidad y el eje x en el intervalo [a,b]

Esto implica que la densidad f(x) no es una probabilidad. Sólo es propio de una cierta probabilidad—la probabilidad de que de que caiga en un intervalo infinitamente pequeño [x, x + dx].
La probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a un determinado número real es siempre cero. Este resultado se debe a que el area que está debajo de un punto es igual a cero: \int_x^x f(t) \, dt = F(x) - F(x) = 0\, . Esto implica un corolario: La probabilidad de que la variable aleatoria continua X esté en un intervalo no depende de si ese intervalo es abierto o cerrado. P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b)\ \text{porque}\ P(a) = P(b) = 0\, .

Es s2 12 m 3.gif

Los histogramas exhibidos demuestran que el histograma puede ser suave si se incrementa el número de observaciones. Al final (usando series grandes de observaciones), el histograma se puede aproximar por una función continua.
El área entre los valores a y b corresponde a la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo [a,b]. Esta probabilidad puede ser escrita de manera formal utilizando una integral. La función de distribución F(x) está definida como la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual que x. Sus propiedades son las siguientes:

  • F(x) es no decreciente, es decir, x_1 < x_2 implica que F(x_1) \leq F(x_2)
  • F(x) es continua
  • 0 \leq F(x) \leq 1
  • \lim_{x \rightarrow - \infty} F(x) = 0
  • \lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = 1

La función de distribución no puede decrecer, porque esto implicaría probabilidades negativas. En general, la función de distribución está definida para los números reales. Esta área es necesaria para la completa descripción de la función de distribución.