Kengetallen van plaats – Gemiddelde waarden (2): Het Harmonisch en Geometrisch Gemiddelde

From MM*Stat International

Jump to: navigation, search
English
Português
Français
‎Español
Italiano
Nederlands


Indien de waargenomen variabelen verhoudingen zijn, is het rekenkundig gemiddelde vaak niet van toepassing.

Harmonisch Gemiddelde

Notatie: The harmonisch gemiddelde is van toepassing voor ratios. We nemen aan dat alle waarnemingen verschillend zijn van nul,    en daarom In bovenstaande formule geeft extra informatie, zoals onderstaand voorbeeld duidelijk maakt: Voorbeeld:

deel van de weg j 1 2 3 4
afstand in km 2 4 3 8
snelheid in km/u 40 50 80 100

Als we de gemiddelde snelheid van de wagen gedurende de reisperiode willen berekenen, mogen we niet gewoon het gemiddelde nemen van de snelheden, aangezien ze over verschillende tijdsperiodes werden gemeten. In de tabel is de afstand die in elk segment werd afgelegd. Met de bovenstaande formule berekenen we dan: Totale tijd:Totale afstand: Gemiddelde: Het rekenkundig gemiddelde zou tot het fout resultaat leiden, omdat het geenrekening houdt met de verschillende lengtes van de segmenten. Correct gebruik van het rekenkundig gemiddelde zou betekenen te berekenen hoeveel tijd voor elk segment werd gebruikt. In het bovenstaand voorbeeld is dit voor elk segment. Dus om het gemiddelde van verhoudingen te berekenen en gebruik te maken van de extra informatie in de noemer (hier met de extra informatie ) gebruiken we het harmonisch gemiddelde.Om het gemiddelde van verhoudingen te berekenen en gebruik te maken van de extra informatie in de teller, gebruiken we het rekenkundig gemiddelde.

geometrisch gemiddelde

Notatie: Het geometrisch gemiddelde wordt gebruikt om de gemiddelde waarden van variabelen te berekenen die enkel positieve waarden aannemen. Dit zijn verhoudingen (e.g. groeicijfers) en staan als product in verhouding tot elkaar. Het logaritme van een geometrisch gemiddelde is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de logaritmes van de waarnemingen: Gemiddelde groei en voorspellingenLaat de waarnemingen in volgorde van het moment van de meting zijn, van tot . Het groeicijfer kan dan als volgt berekend worden: Het product van alle groeicijfers is gelijk aan de totale groei van periode tot . Het gemiddeld groeicijfer is het geometrisch gemiddelde van de groeicijfers over alle periodes. Als we de gemiddelde groei en de waarde op tijdstip kennen, kunnen we de waarde op tijdstip voorspellen Door deze vergelijking naar op te lossen, verkrijgen we de formule voor de tijd die nodig is om een bepaalde waarde te bereiken. Voorbeeld: Bruto Binnenlands Product (BBP) voor Duitsland in prijzen van 1985 (miljard DM)

Jaar t GDP
1980 0 1733.8 -
1981 1 1735.7 1.0011
1982 2 1716.5 0.9889
1983 3 1748.4 1.0186
1984 4 1802.0 1.0307
1985 5 1834.5 1.0180
1986 6 1874.4 1.0217
1987 7 1902.3 1.0149
1988 8 1971.8 1.0365

Nu berekenen we

  • geometrisch gemiddelde
  • voorspelling voor 1990
  • tijd (jaar), wanneer het BBP 2500 is.

Een BBP van is voorspeld voor het jaar .

En folnode3 e k 2 1.gif

De Duitse aandelenindex (DAX) voor de jaren 1990 - 1997:

Jaar 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
DAX – (op het einde van het jaar) 1791 1399 1579 1546 2268 2107 2254 2889 4250
DAX – groei -21.9% 12.9% -2.1% 46.7% -7.1% 7% 28% 47.1%

We willende de gemiddelde jaarlijkse groei van de DAX vinden voor de gegeven periode. Het rekenkundig gemiddelde geeft een fout resultaat, zoals hier duidelijk wordt:

  • Door in het jaar 1989 te beginnen en de “gemiddelde groei” van de DAX te gebruiken om de waarde in 1997 te berekenen, verkrijgen we:

    1990 1791 1,1385 2093
    1991 2093 1,1385 2383
    1997 4440 1,1385 5055

    Het resultaat 5055 is veel hoger dan de werkelijke waarde van de DAX in 1997, nl. 4250.

Voor deze toepassing is het geometrisch gemiddelde wat we nodig hebben, omdat ze de groei meet gedurende een bepaalde periode. De waarde van de DAX in 1990 kan men als volgt uit de waarde in 1989 en de relatieve verandering berekenen: Op analoge wijze kunnen we de waarde voor 1991 “voorspellen” uit de relatieve groeicijfers en de waarde van de DAX in 1990: The values are multiplicatively related. The geometrisch gemiddelde yields the following: De gemiddelde jaarlijkse verandering van de DAX in 1990-1997 was 11.41 %. Met dit geometrisch gemiddelde en de waarde van de DAX in 1989 kunnen we de waarde in 1997 voorspellen:

1990 1791 1,1141 1995
1991 1995 1,1141 2223
1997 3815 1,1141 4250

wat juist is. De gemiddelde jaarlijkse verandering van de DAX in 1990-1997 kunnen we gebruiken om de waarde op het einde van het jaar 1999 te voorspellen. We gebruiken de volgende voorspelling:

En folnode3 e k 1 3.gif

Vier studenten met een deeltijdse baan, hebben volgend inkomen:

Student DM/u Wekelijks loon in DM
A 18 180
B 20 300
C 15 270
D 19 380

We worden verondersteld het gemiddeld uurloon te berekenen. Deze berekening is niet mogelijk met het rekenkundig gemiddelde van de uurlonen, omdat dit geen rekening zou houden met de verschillende tijdsduur die gewerkt wordt. De belangrijkste variabele is een verhouding (DM/u) en de extra informatie (weekloon in DM) is afhankelijk van de teller van deze verhouding. Daarom gebruiken we het harmonisch gemiddelde. De vier studenten verdienen gemiddeld 17.94 DM/u. Dit verandert als we in plaats van het weekloon het aantal gewerkte uren per week kennen:

Student DM/u Gewerkt aantal uur
A 18 10
B 20 15
C 15 18
D 19 20

Nu is de extra informatie (aantal gewerkte uren) gerelateerd aan de noemer van de verhouding, daarom kunnen we het rekenkundig gemiddelde gebruiken in dit geval, meer bepaald het gewogen rekenkundig gemiddelde. Opnieuw vinden we een gemiddeld loon van 17.94 DM/u.