Indici di localizzazione (2): media armonica e media geometrica

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La media aritmetica non riesce a descrivere propriamente una distribuzione se i valori osservati esprimono rapporti.

La media armonica

La media armonica à un caso speciale della media aritmetica, utile nel caso in cui i valori siano espressi in rapporti. Si suppone che à la variabile investigata per la quale si cerca la media, rappresenta delle informazioni aggiuntive sulla variabile . Esempio:

parte del percorso j 1 2 3 4
distanza in km 2 4 3 8
velocità in km/h 40 50 80 100

Si ricerca la velocità media della macchina. Dalla tabella si possono avere le informazioni per ogni parte del percorso, la distanza à il numeratore nella formula: velocità = spazio/tempo. In questo caso utilizziamo quindi la media armonica: Tempo impiegato:
Distanza percorsa:
Media:
La media aritmetica ci fornirebbe un risultato sbagliato di in quanto non considera le diverse lunghezze di ogni parte del percorso. Si puà tuttavia utilizzare la media aritmetica se la si modifica per tenere in considerazione il tempo impiegato per ogni parte del percorso (= media aritmetica ponderata). In questo caso quindi si utilizzano informazioni ulteriori per quanto riguarda il denominatore del rapporto spazio/tempo.
Riassumendo: si utilizza la media armonica per grandezze inversamente proporzionali per le quali sono fornite informazioni sul numeratore del rapporto (nel nostro caso con le informazioni aggiuntive ).
Nel caso in cui siano disponibili informazioni sul denominatore si usa la media aritmetica.

La media geometrica

La media geometrica viene utilizzata per calcolare la media di grandezze positive, misurate (almeno) sulla scala a intervalli (come per esempio tassi di crescita) il cui valore à correlato attraverso rapporti moltiplicativi. Il logaritmo della media geometrica corrisponde alla media aritmetica dei logaritmi dei valori. Il tasso di crescita medio e previsioni
Siano i valori ordinati temporalmente dal periodo fino . Il tasso di crescita si calcola come segue:
Il prodotto di tutti i tassi di crescita corrisponde al tasso di crescita totale del periodo da a . Il tasso di cresciata medio si ottiene come media geometrica del tasso di crescita dei diversi periodi: Conoscendo il tasso di crescita medio e il valore della grandezza al momento , possiamo prevedere il valore al momento . Risolvendo l’equazione data rispetto a , otteniamo una formula per la determinazione del tempo necessario a raggiungere un dato valore della grandezza nel futuro: Esempio: Prodotto Interno Lordo (PIL) della Germania in prezzi del 1985 (Mrd. DM)

Anno t PIL
1980 0 1733,8 -
1981 1 1735,7 1,0011
1982 2 1716,5 0,9889
1983 3 1748,4 1,0186
1984 4 1802,0 1,0307
1985 5 1834,5 1,0180
1986 6 1874,4 1,0217
1987 7 1902,3 1,0149
1988 8 1971,8 1,0365

Calcoliamo:

  • la media (media geometrica)
  • le previsioni per il 1990
  • anno in cui il PIL raggiungerà il valore di 2500.

Il PIL raggiungerà i DM nell’anno .


En folnode3 e k 2 1.gif

L’indice della borsa tedesca (DAX) ha oscillato (in percentuale) nel periodo 1990 - 1997, come segue: |*10c| Anno & 1989 & 1990 & 1991 & 1992 & 1993 & 1994 & 1995 & 1996 & 1997
DAX – (fine dell’anno) & 1791 & 1399 & 1579 & 1546 & 2268 & 2107 & 2254 & 2889 & 4250
DAX – oscillazione & -21,9 % & +12,9 % & -2,1 % & +46,7 % & -7,1 % & +7,0 % & +28,2 % & +47,1 %
Vogliamo calcolare l’oscillazione media annuale del DAX negli anni 1990 - 1997.
Come si puà osservare di seguito, l’uso della media aritmetica ci fornisce un risultato sbagliato.

  • Se utilizzassimo questa oscillazione media per calcolare a partire dal 1989 il valore del DAX nel 1997 avremmo il valore:

    1990 1791 1,1385 2093
    1991 2093 1,1385 2383
    1997 4440 1,1385 5055

    Il risultato 5055 à molto pià alto di quello effettivo per l’anno 1997 (4250).

In questo caso infatti si tratta di tassi di crescita e quindi si deve utilizzare la media geometrica. Il valore del DAX nel 1990 viene calcolato a partire dal valore nel 1989 e dalla relativa oscillazione come segue: Analogamente possiamo “prevedere” il valore nel 1991 utilizzando il valore nel 1990 e la relativa oscillazione I valori sono moltiplicativi quindi la media geometrica si calcola come segue: L’oscillazione annuale media del DAX negli anni 1990 - 1997 à 11,41 %. Utlizzando questa “oscillazione media annua” per calcolare il valore del DAX nel 1997 otteniamo:

1990 1791 1,1141 1995
1991 1995 1,1141 2223
1997 3815 1,1141 4250

Questo à il valore corretto del DAX nel 1997.
L’oscillazione media annua del DAX per il periodo 1990 - 1997 puà essere utilizzata per estimare il valore del DAX nel 1999:


En folnode3 e k 1 3.gif

Quattro studenti, lavorano part-time e ricevono i seguenti compensi orari e settimanali:

Studenti DM/h Compenso settimanale in DM
A 18 180
B 20 300
C 15 270
D 19 380

Obiettivo della nostra ricerca à trovare il compenso medio orario dei quattro studenti. Il calcolo non puà essere effettuato utilizzando la media aritmetica dei compensi orari in quanto in questo modo non vengono considerate le ore di lavoro settimanali. Dato che il compenso orario viene espresso come rapporto (DM/h) e l’informazione aggiuntiva fornita (compenso settimanale in DM) si riferisce al numeratore di questo rapporto, utilizziamo la media armonica. I quattro studenti guadagnano in media 17,94 DM/h.
La situazione cambia se l’informazione aggiuntiva riguarda le ore di lavoro settimanali.

Studente DM/h Ore di lavoro
A 18 10
B 20 15
C 15 18
D 19 20

L’informazione aggiuntiva si riferisce ora al denominatore del rapporto quindi possiamo utilizzare la media aritmetica ponderata. Il compenso medio à 17,94 DM/h.