Parámetros de Localización – valores medios (2): media armónica, media geométrica

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Si se observan variables como ratios o porcentajes, entonces la media aritmética no resulta apropiada.

Media armónica

Notación: \bar{x}_{H} La media armónica es útil para variables que vienen expresadas en porcentajes. . Supongamos que todos los puntos de datos son distintos de cero, es decir, x_{i}\neq0  Como consecuencia de que\ \ x_{j}\neq0 \bar{x}_{H}=\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}} \bar{x}_{H}=\frac{\sum\limits_{j=1}^{k}g_{j}}{\sum\limits_{j=1}^{k}\frac
{g_{j}}{x_{j}}},\,\,\,\ j=1,\dots,k En la fórmula anterior,\ g_{j} suministra información adiccional, lo cual se verá más claramente en el ejemplo siguiente. Ejemplo:

sector de la carretera j 1 2 3 4
distancia g_{j} en km 2 4 3 8
velocidad x_{j} en km/h 40 50 80 100

Queremos calcular la velocidad media del coche durante el viaje. No es apropiado realizar la media de las velocidades ya que se han producido en diferentes periodos de tiempo.  En la tabla, g_{j} es la distancia recorrida para cada segmento.  Utilizando la fórmula superior, calculamos: Tiempo total:\sum\limits_{j=1}^{k}\frac{g_{j}}{x_{j}}=0.2475\,hDistancia total: \sum\limits_{j=1}^{k}g_{j}=17\,kmPromedio: \bar{x}
_{H}=\frac{17}{0.2475}=\frac{2+4+3+8}{\frac{2}{40}+\frac{4}{50}+\frac{3}
{80}+\frac{8}{100}}=68.687\,km/h Con la media aritmética se obtiene un resultado incorrecto de 67.5\,km/h, debido a que no tiene en cuenta la variación en la distancia de las diferentes partes de la carretera. Para usar correctamente la media aritmética se debe calcular el tiempo que se ha consumido a lo largo de cada segmento. En el ejemplo superior estos periodos de tiempo se denotan por h_{j}=g_{j}/x_{j}  para cada segmento.h_{1}=g_{1}/x_{1}=0.05;\ h_{2}=g_{2}/x_{2}=0.08;\ h_{3}=g_{3}/x_{3}
=0.0375;\ h_{4}=g_{4}/x_{4}=0.08; \bar{x}=\frac{40\cdot0.05+50\cdot0.08+80\cdot0.0375+100\cdot0.08}
{0.05+0.08+0.0375+0.08}=68.687\,km/h Asi, Si el objetivo es calcular el promedio de los porcentajes utilizando información adiccional para el numerador (en nuestro caso x_{j} con la información adiccional g_{j}) utilizaremos la media armónica.Si el objetivo es calcular el promedio a partir de los porcentajes utilizando información adiccional en el denominador, eligiremos la media aritmética.

media geométrica

Notación:\bar{x}_{G} La media geométrica se utiliza para calcular el valor medio de variables que toman valores positivos, son porcentajes (por ejemplo, la tasa de crecimiento) y están relacionadas de forma multiplicativa. \bar{x}_{G} = \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot\dots\cdot x_{n}} El logarítmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logarítmos de las observaciones: \log\bar{x}_{G} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}{n} \log x_{i} Tasa de crecimiento medio y predicciónSean x_{0}, x_{1}, \dots,
x_{n} las mediciones ordenadas de acuerdo con el momento temporal de cada observación desde 0 a n. La tasa de crecimiento se calcula comoi_{t} = x_{t}/x_{t-1} i_{1} \cdot i_{2} \cdot\dots\cdot i_{n} = x_{n} / x_{0} El producto de todas las tasas de crecimiento es igual al crecimiento total desde el periodo 0 hasta el n. La tasa de crecimiento medio se obtiene como la media geométrica de las tasas de crecimiento de los distintos periodos: \bar{\imath}_{g}=\sqrt[n]\,\,i_{1}\cdot i_{2}\cdot\dots\cdot i_{n}
=\sqrt[n]{\frac{x_{n}}{x_{0}}} Conociendo la tasa de crecimiento medio y el valor en el periodo n, podemos predecir el valor en el periodo n+T. x_{n+T}^{\star}=x_{n}\cdot(\bar{\imath}_{G})^{T} Resolviendo la ecuación respecto a T, se obtiene una fórmula para el tiempo que es necesario que transcurra para alcanzar un determinado valor: T=\frac{\log(x_{n+T})-\log(x_{n})}{\log(\bar{\imath}_{G})} Ejemplo: El Producto Interior Bruto (PIB) de Alemania en precios constantes de 1985 (bill. DM)

Año t PIB x_{t} i_{t}
1980 0 1733.8 -
1981 1 1735.7 1.0011
1982 2 1716.5 0.9889
1983 3 1748.4 1.0186
1984 4 1802.0 1.0307
1985 5 1834.5 1.0180
1986 6 1874.4 1.0217
1987 7 1902.3 1.0149
1988 8 1971.8 1.0365

Vamos a calcular:

  • valor medio (media geométrica)
  • predicción para 1990
  • tiempo (en años) necesario para que el PIB alcance un valor de 2500.

\bar{\imath}_{G}=\sqrt[8]{\frac{1971.8}{1733.8}}=1.0162 x_{1990}^{\star}=1971.8\cdot1.0162^{2}=2036.2\,\text{bil. DM} T=\frac{\log(2500)-\log(1971.8)}{\log(1.0162)}=14.77\,\text{years.} El valor del PIB de de 2500 es predicho en el año 1988 + 15
= 2003.

Es folnode3 e k 2 1.gif

El índice aleman (DAX) fue durante el periodo 1990 - 1997 el siguiente:

Año 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
DAX – (al final del año) 1791 1399 1579 1546 2268 2107 2254 2889 4250
DAX – variación -21.9% 12.9% -2.1% 46.7% -7.1% 7% 28% 47.1%

Queremos encontrar la variación anual media en el DAX durante el periodo. Utilizando la media aritmética se obtiene un resultado incorrecto como el que se muestra a continuación.

  • \bar{x}
=((-21.9)+(+12.9)+(-2.1)+(+46.7)+(-7.1)+(+7.0)+(+28.2)+(+47.1))/8=110.80/8=13.85\% Comenzando en el año 1989 y utilizando la ”variación promedio del DAX” para calcular el valor del DAX en 1997, se obtiene:

    1990 1791 \cdot 1,1385 2093
    1991 2093 \cdot 1,1385 2383
    \dots
    1997 4440 \cdot 1,1385 5055

    El resultado 5055 es mucho más alto que el valor real del DAX en 1997 que fue 4250.

En este caso, el valor medio correcto es la , porque mide el crecimiento durante un determinado periodo de tiempo. El valor en 1990 puede ser calculado a partir del valor en 1989 y la variación relativa del siguiente modo: \text{DAX}_{1990}=(1+(-0.219))\cdot\text{ DAX}_{1989}=(1+(-0.219))\cdot
1791=0.781\cdot1791=1399 De forma análoga, podemos “predecir” el valor para 1991 a partir de la variación relativa y el valor del DAX en 1990: \text{DAX}_{1991}=(1+0.129)\cdot\text{ DAX}_{1990}=(1+0.129))\cdot
1399=1.129\cdot1399=1579 Los valores estan relacionados de forma multiplicativa. La media geométrica es la siguiente: \begin{align}
X_{G} &  =\sqrt[8]{0.781\cdot1.129\cdot0.979\cdot1.467\cdot0.929\cdot
1.070\cdot1.282\cdot1.417}\\
&  =1.1141\\
&\end{align} La variación anual media del DAX en el periodo 1990 - 1997 fue 11.41 %. Vamos a utilizar esta media geométrica y el valor del DAX en 1989 para predecir el valor del DAX en 1997, el valor obtenido es:

1990 1791 \cdot 1,1141 1995
1991 1995 \cdot 1,1141 2223
\dots
1997 3815 \cdot 1,1141 4250

lo cual es correcto. La variación anual media del DAX entre 1990 - 1997 puede ser utlizada también para predecir el valor al final del año 1999. La predicción obtenida es: \text{DAX}_{1999}=\text{ DAX}_{1997}\cdot1.1141\cdot1.1141=4250\cdot
1.1141^{2}=5275

Es folnode3 e k 1 3.gif

Cuatro estudiantes, que tenían trabajos a tiempo parcial, tienen los siguienrtes salarios por hora:

Estudiante DM/h Salario semanal en DM
A 18 180
B 20 300
C 15 270
D 19 380

Se supone que queremos calcular el salario medio por hora. Este cálculo no puede ser hecho utilizando la media aritmética de los salarios por hora, porque no tiene en cuenta el tiempo que cada estudiante ha dedicado a trabajar. La variable de interés es el porcentaje (DM/h) y la información adiccional (salrio semanal en DM) está relacionada con el numerador de este porcentaje. Por lo tanto, utilizaremos la . \bar{x}_{H}=\frac{\sum\limits_{j}g_{j}}{\sum\limits_{j}\frac{g_{j}}{x_{j}}
}=\frac{180+300+270+380}{\frac{180}{18}+\frac{300}{20}+\frac{270}{15}
+\frac{380}{19}}=\frac{1130}{63}=17.94 Estos cuatro estudiantes ganan de media 17.94 DM/h.La situación cambia si en lugar de conocer el salario semanal conocemos el número de horas trabajadas cada semana.

Estudiante DM/h horas trabajadas
A 18 10
B 20 15
C 15 18
D 19 20

Ahora, la información adiccional (horas trabajadas semanalmente) está relacionada con el denominador del porcentaje. Por lo tanto, podemos utilizar la media aritmética, en este caso la media aritmética ponderada. \bar{x}=\frac{18\cdot10+20\cdot15+15\cdot18+19\cdot20}{10+15+18+20}
=\frac{1130}{63}=17.94 El salario medio es de nuevo 17.94 DM/h.