La distribuzione esponenziale

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Una variabile casuale continua X ha una distriuzione esponenziale con parametro se presenta la seguente densità di probabilità: Viene indicata con . La funzione di ripartizione à data da: La speranza matematica e la varianza di una variabile casuale esponenziale sono: quanto pià grande à il parametro tanto pià velocemente la densità di probabilità della distribuzione esponenziale per , converge verso lo 0 e la funzione di distribuzione verso 1. La distribuzione esponenziale dipende dal parametro . In questo esempio si puà cambiare il parametro ed osservare la corrispondente rappresentazione grafica della densità di probabilità . In un componente elettronico si possono verificare 48 guasti in un giorno (= 24 ore): i guasti si verificano a brevi intervalli, casualmente e indipendentemente li uni dagli altri. Il numero medio di guasti attesi in un ora à . La variabile casuale T à definita come l’intervallo di tempo tra due guasti, à quindi una variabile continua con distribuzione esponenziale: . La densità di probabilità di EX(2) à data nel grafico sottostante: (grafik) La probabilità che fino al prossimo guasto intercorrano pià di due ore si calcola nel modo seguente:
Si supponga che un sistema elettrico utilizzi due componenti che funzionano indipendentemente l’uno dall’altro. Il sistema si guasta non appena uno dei due componenti non funziona.
T1 = “intervallo tra due guasti per il primo componente".
T2 = “intervallo tra due guasti per il secondo componente". e Il sistema elettrico funziona solo se entrambi i componenti funzionano, quindi per P (il sistema funziona pià di due ore) abbiamo:
= P[(il primo componente funziona pià di due ore) (il secondo componente funziona pià di due ore)]
= P(il primo componente funziona pià di due ore) P(il secondo componente funziona pià di due ore)
=
In questo caso si utilizza la proprietà moltiplicativa per eventi indipendenti in quanto à stato specificato che i due componenti sono indipendenti l’uno dall’altro. In considerazione della relazione tra una distribuzione esponenziale e una distribuzione di Poisson:
La distribuzione di Poisson fornisce la probabilità del numero di volte Y in cui un particolare fenomeno si à verificato in una determinata entità dimensionale con intensità .

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Per spiegare meglio la distribuzione di Poisson prendiamo l’esempio di una macchina che ha in media due guasti alla settimana. Abbiamo quindi: t = numero degli intervalli di lunghezza prederminata = numero delle settimane.
a) La probabilità che una settimana non si presentino guasti à di:
: “numero dei guasti per settimana" con t=1.
b) La probabilità che in due settimane non si presenti nessun guasto à di:
: “numero di guasti in due settimane" con t=2
In generale, la probabilità che non si presenti nessun guasto in t settimane à:
 : “numero dei guasti in t settimane".
E(Y) = t Y PO( t) Ci chiediamo adesso qual’à la probabilità di un particolare intervallo fino al prossimo guasto, per esempio la probabilità che prima del prossimo guasto intercorrano 2 settimane. X: “tempo intercorso fino al prossimo guasto". Per calcolare facciamo uso della distribuzione esponenziale. Come si puà notare questo valore à lo stesso della probabilità P( = 0) che nessun guasto si presenti in due settimane per la variabile casuale di Poisson . Densità di probabilità EX(2).

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Funzione di distribuzione EX(2).

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Note!! f(x) =| F(X) La distribuzione di Poisson viene utilizzata per il calcolo del numero di eventi che si verificano in un determinato intervallo date determinate condizioni, ovvero la variabile casuale Y indica il numero di volte in cui un determinato risultato si verifica in una prefissata entità dimensionale con un’intensità di . Ma se invece dovessimo rispondere alla domanda qual’à l’intervallo che intercorre tra l’osservazione di un evento e il manifestarsi del prossimo dovremmo fare riferimento alla variabile esponenziale. La distribuzione esponenziale fornisce la probabilità dell’intervallo tra due eventi con una distribuzione di Poisson susseguenti. La variabile casuale X quindi indica un intervallo tra due eventi susseguenti ed à una variabile continua. La probabilità che X assuma il valore massimo di x à data da P(Xx) = 1 - P (nessun evento nell’intervallo di lunghezza x). P(nessun evento nell’intervallo di lunghezza x) à uguale alla probabilità che la variabile casuale Y con distribuzione di Poisson assuma il valore di 0 nell’intervallo di ampiezza x: P(Y=0) abbiamo quindi come funzione di distribuzione della distribuzione esponenziale, ovvero X ha una distribuzione esponenziale. Esiste quindi una stretta correlazione tra la distribuzione esponenziale e la distribuzione di Poisson. La distribuzione esponenziale viene spesso utilizzata per analizzare la durata di processi continui o di tempi d’attesa, per esempio:

  • il tempo di attesa prima di essere serviti in un ristorante, in una stazione di servizio o in una banca
  • il tempo impiegato da un componente di un sistema tecnico per guastarsi
  • tempo di un servizio (tempo dedicato alla contabilità di un lavoro, caricare un camion, riparazioni)
  • durata di vita di un componente o di una persona
  • durata di una telefonata
  • intervallo di tempo tra una dichiarazione di danni e la prossima presso un’assicurazione

Alla distribuzione esponenziale à attribuita la seguente condizione:
P(X t + s X t) = P( X s). Il significato di questa condizione puà essere facilmente spiegato se X indica la durata di vita. In questo caso la condizione richiede che per ogni momento t, la durata di vita successiva non sia influenzata dalla vita già passata. Cià viene anche indicato come assenza della memoria della distribuzione esponenziale. Nella pratica lo studio della durata di vita di un sistema con una distribuzione esponenziale indica che il sistema non invecchia e che la probabilità di un guasto a un componente à indipendente dal tempo.
La rappresentazione grafica di una variabile casuale con distribuzione esponenziale à data da una densità di probabilità visto che in questo caso si tratta di una variabile continua.

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