Distribución Exponencial

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Una variable aleatoria continua X se puede decir que tiene una distribución exponencial de parámetro \lambda>0 si su función de densidad puede ser definida como: f_{EX}(x;\lambda) = \left\{
        \begin{array}{ll}
          \lambda e^{- \lambda x} \quad & \text{para}\ x = \geq 0 ; \lambda > 0
\\
          \\
          0 \quad & \text{para}\ x < 0
        \end{array} \right. Esto se denota como  X \sim EX(\lambda). La es: F_{EX}(x;\lambda) = \left\{
        \begin{array}{ll}
            1 - e^{- \lambda x} \quad & \text{para}\ x = \geq 0 ; \lambda > 0
\\
          \\
          0 \quad & \text{para}\ x < 0
        \end{array} \right. El valor esperado y varianza de una variable que tiene una distribución exponencial son: E(X) = \frac{1}{\lambda} \quad Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} Cuando \rightarrow \infty , más rápido se aproxima la densidad a cero y la función de distribución se aproxima a 1. La distribución exponencial depende del parámetro \lambda. El siguiente ejemplo nos permite alterar \lambda y ver como afecta a la función de densidad. En una fábrica, se esperan 48 fallos en un día (=24 horas). Estos fallos son puramente aleatorios e independientes. De media se esperan \lambda=48/24 =2 dos fallos por hora. Definimos la variable aleatoria T para el tiempo entre dos fallos, que se va a distribuir como una exponencial: T-EX(2). Es s2 25 e 1.gif La densidad de probabilidad de EX(2) se muestra a continuación; Es s2 25 f 6.gif La probabilidad de que el siguiente fallo ocurra en 2 horas es: P(t > 2) = 1 - F_{EX}(2) = 1 - (1 - e^{-2 \cdot 2}) = e^{-4} = 0.01832 Vamos a considerar que la fábrica usa dos tipos de sistemas independientes. El sistema realiza una parada tan pronto como uno de los sistemas no funcione. Sea T1 = “Tiempo entre 2 errores para el primer componente”. T2 = “Tiempo entre 2 errores para el segundo componente”. T1-EX(2) y T2-EX(2) Como la fábrica sólo funciona cuando los dos componentes están funcionando, ambos necesitan más de 2 horas para funcionar; \begin{align}
P(\text{El sistema funcione durante más de 2 horas}) &
= &\\
 & =& P[(\text{primer componente funcione más de 2 horas}) \cap P(\text{segundo componente funcione más de 2 horas})] \\
 & =& P(\text{primer componente funciones más de 2 horas}) \cdot P(\text{segundo componente funcione más de 2 horas}) \\
 & =& P(T_1 \geq 2) \cdot P(T_2 \geq 2) = (0.01832)^2 = 0.000336 \\\end{align} Usamos la propiedad del producto para sucesos independientes, ya que ambos componenetes operan de forma independiente. De acuerdo a la relación entre la función exponencial y la de Poisson, la distribución de Poisson define la probabilidad de un número de resultados Y de un fenómeno específico, en un intervalo o amplitud continua y fija con la intensidad \lambda. El siguiente ejemplo muestra una distribución de Poisson. Supongamos que hay una máquina con 2 fallos de media por semana. Sea t = número de intervalos de tamaño fijo (en semanas). a). La probabilidad de que no existan defectos en una semana es: Y_1: “número de defectos por semana” con t=1.
E(Y_1) = \lambda = 2\, , \qquad Y_1 \sim PO(2) f_{PO}(y_1;\lambda) = \frac{(\lambda t)^{y_1}}{y_1!}e^{- \lambda x} =
\frac{(2 \cdot 1)^0}{0!}e^{-2 \cdot 1} = e^{-2} = 0.1353 b). La probabilidad de no detectar ningun defecto en 2 semanas: Y_2: “número de defectos en 2 semanas” con t=2
E(Y_2) = \lambda t = 2 \cdot 2 \, , \qquad  Y_2 \sim PO(4) P(Y_2 = 0) = \frac{(2 \cdot 2)^0}{0!}e^{-2 \cdot 2} = \frac{4^0}{0!}e^{-4}
= e^{-4} = 0.0183 En general, la probabilidad de que no se detecten defectos en t semanas viene dado como: Y : “número de defectos en t semanas”.
E(Y) = \lambda t \qquad Y \sim PO(\lambda t) P(Y = 0) = frac{(\lambda t)^0}{0!}e^{- \lambda t} = e^{- \lambda t} Si estamos interesados en encontrar la probabilidad asociada a que el siguiente fallo ocurra, por ejemplo, al menos dos semanas antes de que el siguiente fallo se detecte; X: “tiempo de espera hasta el proximo fallo”. Para calcular P(X>2) usaremos la distribución exponencial. P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - F_{EX}(x; \lambda) = 1 - (1 - e^{- \lambda
x}) = e^{- \lambda x} = e^{-2 \cdot 2} = 0.0183 Este valor es el mismo que el de la probabilidad P(Y_2 = 0) de una distribución de Poisson para la variable aleatoria Y: en 2 semanas no se ha detectado defecto. La densidad de EX(2). Es s2 25 f 6.gif La función de distribución de EX(2). Es s2 25 f 6.gif Nota!! f(x) =| F(X) La distribución de Poisson se utiliza para calcular probabilidades asociadas a una variable aleatoria Y que define el número de ocurrencias de un resultado dentro de una amplitud continua con un intensidad \lambda. Pero si estamos interesados en el tiempo entre esos dos sucesos entonces la distribución exponencial puede ser utilizada para realizar afirmaciones probabilísticas. La distribución exponencial suministra la probabilidad de que la “distancia” que separa dos sucesos consecutivos con distribución de Poisson. Denotamos a la nueva variable aleatoria continua como X que representa el intervalo entre dos resultados seguidos ( o secuenciales). La probabilidad que toma X en el valor mínimo de x viene dada como P(X\leqx) = 1 - P (no hay resultados dentro del intervalo de amplitud x). Pero P(no hay resultado en el intervalo de amplitud x) simplemente representa la probabilidad de que una variable que tiene distribución de Poisson tome el valor 0 en el intervalo de amplitud x; P(Y=0) por lo que f_{PO}(y;\lambda x) = \frac{(\lambda x)^y}{y!}e^{- \lambda x} P(Y = 0) = f_{PO}(0;\lambda x) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{- \lambda x} =
e^{- \lambda x} Esta es la función de distribución de una variable exponencial, es decir, X está exponencialmente distribuida. P(X \leq x) = 1 - e^{- \lambda x} Por lo tanto, existe una estrecha relación entre la distribución de Poisson y la exponencial. La distribución exponencial se usa a veces para modelar el tiempo en procesos continuos asi como para periodos de espera. Por ejemplo:

  • El tiempo de espera antes de que te sirvan en un restaurante o banco.
  • El tiempo necesario antes de que un componente falle.
  • Tiempo de reparación.
  • Vida media (periodo de vida) de un componente o una persona.
  • Tiempo necesario para una conversación telefónica.
  • Tiempo transcurrido antes del siguiente comunicado de destrozo al seguro de propiedad de una empresa.

La distribución exponencial tiene la siguiente propiedad. P(X \leq t + s | X \geq t) = P( X \leq s). Esta condición implica que el tiempo asociado a un resultado no depende de momentos anteriores. Esto significa que la distribución exponencial es un proceso sin memoria La representación gráfica de una variable distribuida exponencialmente viene dada en la forma de una función de densidad, dado que se refiere al caso de una variable aleatoria. Es s2 25 m 2.gif