Insiemistica applicata agli eventi

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Nel paragrafo precedente abbiamo definito gli eventi come sottoinsiemi dello spazio degli eventi . Dalla definizione deriva l’uso dell’insiemistica; possiamo infatti usare tutte le operazioni tipiche dell’insiemistica anche per lo studio degli eventi. Nel seguito ripetiamo alcuni concetti base dell’insiemistica.

Implicazione ed equivalenza

Implicazione ‘Se l’evento si verifica, anche l’evento si verificherà.’ tradotto in termini insiemistici: ‘ à un sottoinsieme di ’:

En folnode7 b 02.gif

Equivalenza e sono equivalenti se e solo se: and .

L’unione di insiemi o somma logica

L’insieme di tutti gli eventi appartenenti ad o e ad e à detto unione di e , .

En folnode7 b 06.gif

La somma puà essere estesa a eventi: :

Esempio: lancio del dado una volta. se e allora Generalizzando:



Intersezione di eventi

L’insieme degli eventi appartenenti ad e à detto intersezione di e , .

En folnode7 b 10.gif

L’intersezione puà essere estesa a eventi :

Esempio: lancio del dado una volta. se e allora
Generalizzando:





Eventi incompatibili: Due eventi sono incompatibili se i due eventi non possono avvenire contemporaneamente e quindi la loro intersezione à l’insieme vuoto: .

En folnode7 b 14.gif

Per definizione e sono mutualmente incompatibili. Non ne segue tuttavia il contrario: due eventi incompatibili non sono necessariamente complementari. Esempio: lancio del dado una volta.
Se e allora e Gli eventi e sono complementari e disgiunti. Se e Gli eventi e sono disgiunti ma non complementari.

Differenza logica di due eventi

L’evento à definito differenza logica tra gli eventi e se rappresenta l’insieme degli eventi che appartengono ad ma non a :

En folnode7 b 18.gif

Esempio: lancio del dado una volta. Se e Allora
e

Scomposizione dello spazio degli eventi

Un insieme di eventi à detto una scomposizione di , se valgono le seguenti proprietà:

e uno degli eventi deve verificarsi durante l’esperimento aleatorio. La scomposizione puà essere interpretata come suddivisione di tutti gli eventi in gruppi, dove ogni evento appare esattamente in un gruppo (come la suddivisione in gruppi di studio in una classe di studenti). Esempio: lancio del dado una volta. Spazio degli eventi: . Se à scomposto negli eventi allora vale: ,,,,,,
.

Alcuni teoremi dell’insiemistica

teorema di De Morgan

Proprietà associativa

Proprietà commutativa

Proprietà distributiva

Riassunto

Descrizione verbale Definizione tecnica in simboli matematici
si verifica sicuramente à un evento certo
non si verifica mai à un evento impossibile
se si verifica, allora anche si verifica à sottoinsieme di
si verifica se e solo se si verifica e sono eventi equivalenti
e non possono verificarsi assieme e sono eventi disgiunti/incompatibili
non si verifica se e solo se si verifica e sono eventi complementari
si verifica se e solo se almeno un si verifica à l’unione di
si verifica se e solo se tutti si verificano à l’intersezione di