Relaciones y operaciones entre Sucesos

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En el capítulo anterior, hemos definido los sucesos como un subconjunto del S. Debido al hecho de interpretar los sucesos como conjuntos, podemos aplicar las mismas operaciones y relaciones a los sucesos, que conocemos de la teoría clásica de conjuntos. Vamos a mencionar algunos de los conceptos más importantes de la teoría de conjuntos.

Subconjuntos y Complementarios

A es un subconjunto de B si cuando el suceso A ocurre, entonces el suceso B también ocurre. Se denota por \ A\subset
B. A y B son sucesos equivalentes si y solo si \ A\subset B y B\subset A. Si A\subset B se define el complementario de A \  denotado como \ \overline{A} al conjunto de puntos de B que no estan en A,

Unión de Conjuntos

El conjunto de puntos pertenecientes o al conjunto A o al conjunto B se denomina unión de los conjuntos A y B, y se denota como A\cup B.  De tal manera que si el suceso ’A\,o \,B’ ha ocurrido, entonces un resultado básico en el conjunto A\cup B ha tenido lugar. Es folnode7 b 06.gif La unión de conjuntos puede ser extendida a n conjuntos y por lo tanto n sucesos A_{1},A_{2}
,\ldots,A_{n}: teniendo en cada casoA_{1}\cup
A_{2}\cup\ldots\cup A_{n}=\cup_{i=1}^{n}A_{i} Ejemplo: Lanzamiento de un dado una vez Definimos A=\{1,2\} y B=\{2,4,6\} Entonces A\cup B=\{1,2,4,6\} Resultados generales:A\cup A=AA\cup S=S donde S es el espacio muestral.A\cup\emptyset=A donde \emptyset es el conjunto vacio, el conjunto que no contiene ningun elemento.A\cup\overline{A}=S

Intersección de Sucesos

El conjunto de puntos cumunes de los sucesos A Y B se conoce como intersección de A y B, A\cap
B.  Por lo tanto si ha ocurrido el suceso ’A\,y \,B’, entonces se ha producido un resultado básico en el conjunto A\cap B. Es folnode7 b 10.gif La intersección de sucesos puede ser extendida a n sucesos A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}:A_{1}\cap A_{2}\cap\ldots\cap A_{n}
=\cap_{i=1}^{n}A_{i} Ejemplo: Lanzamiento de un dado una vez Definimos A=\{1,2\} y B=\{2,4,6\} Entonces A\cap B=\{2\} Resultados generales:A\cap A=AA \cap
S=AA\cap\emptyset=\emptysetA \cap\overline{A}=\emptyset \emptyset\cap S=\emptyset Sucesos disjuntos: Se dice que dos conjuntos o sucesos son disjuntos (o mutuamente excluyentes) si su intersección es el conjunto vacio: A\cap B=\emptyset. Interpretación: los sucesos A y B no pueden ocurrir simultaneamente. Por definición, A y \overline{A} son mutuamente excluyentes. Lo contrario no se cumple, es decir, dos sucesos disjuntos no son necesariamente complementarios entre ellos. Ejemplo: Lanzamiento del dado una vez Definimos A=\{1,3,5\} y B=\{2,4,6\} Entonces B=\overline{A} y A=\overline{B} \Rightarrow A\cap B=A \cap\overline{A}= \emptyset Interpretación: los sucesos (conjuntos) A y B son disjuntos o suceso y sucesos complementarios. Definimos C=\{1,3\} y B=\{2,4\} \Rightarrow C\cap D=\emptyset Interpretación: los sucesos C y D son disjuntos pero no complementarios.

Diferencia de Conjuntos o Sucesos

El conjunto o suceso C es la diferencia entre los sucesos A y B si representa el suceso: ha ocurrido ’A pero no ha ocurrido B’, es decir, son los resultados que estan en A, que no estan en B: A\backslash B=C\equiv A\cap\overline{B} Es folnode7 b 18.gif Ejemplo: Lanzamiento de un dado una vez Definimos A=\{1,2,3\} y B=\{3,4\} EntoncesA\backslash B=C=\{1,2\} y B\backslash A=\{4\}

Descomposición disjunta del Espacio Muestral

Un conjunto de sucesos A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} se denomina descomposición disjunta de S, si verifican las siguientes condiciones:

  • A_{i}\neq\emptyset\quad\left(  i=1,2,\ldots,n\right)
  • A_{i} \cap A_{k}=\emptyset\quad\left(  i\neq k;i,k=1,2,\ldots,n\right)
  • A_{1}\cup A_{2}\cup\ldots\cup A_{n}=S

Se puede pensar en este tipo de descomposición como una partición del espacio muestral donde cada resultado básico cae exactamente en uno de los conjuntos o sucesos. El hecho de partir un pastel de cumpleaños resulta que es una descomposición disjunta o partición del pastel. Ejemplo: Lanzamiento de un dado Espacio muestral: S=\{1,2,3,4,5,6\} Definimos A_{1}=\{1\},A_{2}=\{3,4\},A_{3}=\{1,3,4\},A_{4}=\{5,6\},A_{5}
=\{2,5\},A_{6}=\{6\}. Afirmación: una posible descomposición disjunta viene dada como A_{1},A_{2}
,A_{5},A_{6}. Demostración: A_{1}\cap A_{2}=\emptyset,A_{1}\cap
A_{5}=\emptyset,A_{1}\cap A_{6}=\emptyset,A_{2}\cap
A_{5}=\emptyset,A_{2}\cap A_{6}=\emptyset ,A_{5}\cap
A_{6}=\emptyset,A_{1}\cup A_{2}\cup A_{5}\cup A_{6}=S.

Algunas Leyes Teóricas de Conjuntos

Leyes de Morgan\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup\overline{B}
\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap\overline{B} Leyes asociativas\left(  A \cap B \right)  \cap C=A
\cap\left(  B \cap C \right)  \left(  A \cup B
\right)  \cup C=A \cup\left(  B \cup C \right)  Leyes conmutativasA\cap B=B\cap AA\cup
B=B\cup A Leyes distributivasA \cap\left(  B \cup C \right) =
\left(  A \cap B \right)  \cup\left(  A \cap C \right) A \cup\left(  B \cap C \right)  = \left(  A \cup B \right)
\cap\left(  A \cup C \right)

Resumen

Oral Técnico Algebraico
Si ocurre A, entonces también ocurre B B es un subconjunto de A A\subset B
B y A siempre ocurren a la vez A y B son sucesos equivalentes A\equiv
B
A y B no pueden ocurrir a la vez A y B son sucesos disjuntos A\cap B=\emptyset
A ocurre \ si y sólo si no ocurre B A y B son sucesos complementarios B=\overline{A}
ocurre A si y sólo si ocurre al menos un A_{i} A es la unión de A_{i} A=\cup_{i}A_{i}
ocurre A si y solo si ocurren todos los A_{i} A e la intersección de todos los A_{i} A=\cap_{i}A_{i}