Relaciones y operaciones entre Sucesos

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En el capítulo anterior, hemos definido los sucesos como un subconjunto del . Debido al hecho de interpretar los sucesos como conjuntos, podemos aplicar las mismas operaciones y relaciones a los sucesos, que conocemos de la teoría clásica de conjuntos. Vamos a mencionar algunos de los conceptos más importantes de la teoría de conjuntos.

Subconjuntos y Complementarios

es un subconjunto de si cuando el suceso ocurre, entonces el suceso también ocurre. Se denota por y son sucesos equivalentes si y solo si y . Si se define el complementario de  denotado como al conjunto de puntos de que no estan en ,

Unión de Conjuntos

El conjunto de puntos pertenecientes o al conjunto o al conjunto se denomina unión de los conjuntos y , y se denota como .  De tal manera que si el suceso ’’ ha ocurrido, entonces un resultado básico en el conjunto ha tenido lugar. Es folnode7 b 06.gif La unión de conjuntos puede ser extendida a conjuntos y por lo tanto sucesos : teniendo en cada caso Ejemplo: Lanzamiento de un dado una vez Definimos y Entonces Resultados generales: donde es el espacio muestral. donde es el conjunto vacio, el conjunto que no contiene ningun elemento.

Intersección de Sucesos

El conjunto de puntos cumunes de los sucesos Y se conoce como intersección de y , .  Por lo tanto si ha ocurrido el suceso ’’, entonces se ha producido un resultado básico en el conjunto . Es folnode7 b 10.gif La intersección de sucesos puede ser extendida a sucesos : Ejemplo: Lanzamiento de un dado una vez Definimos y Entonces Resultados generales: Sucesos disjuntos: Se dice que dos conjuntos o sucesos son disjuntos (o mutuamente excluyentes) si su intersección es el conjunto vacio: . Interpretación: los sucesos y no pueden ocurrir simultaneamente. Por definición, y son mutuamente excluyentes. Lo contrario no se cumple, es decir, dos sucesos disjuntos no son necesariamente complementarios entre ellos. Ejemplo: Lanzamiento del dado una vez Definimos y Entonces y Interpretación: los sucesos (conjuntos) y son disjuntos o suceso y sucesos complementarios. Definimos y Interpretación: los sucesos y son disjuntos pero no complementarios.

Diferencia de Conjuntos o Sucesos

El conjunto o suceso es la diferencia entre los sucesos y si representa el suceso: ha ocurrido ’ pero no ha ocurrido ’, es decir, son los resultados que estan en , que no estan en : Es folnode7 b 18.gif Ejemplo: Lanzamiento de un dado una vez Definimos y Entonces y

Descomposición disjunta del Espacio Muestral

Un conjunto de sucesos se denomina descomposición disjunta de , si verifican las siguientes condiciones:

Se puede pensar en este tipo de descomposición como una partición del espacio muestral donde cada resultado básico cae exactamente en uno de los conjuntos o sucesos. El hecho de partir un pastel de cumpleaños resulta que es una descomposición disjunta o partición del pastel. Ejemplo: Lanzamiento de un dado Espacio muestral: Definimos . Afirmación: una posible descomposición disjunta viene dada como . Demostración: ,,,,,,.

Algunas Leyes Teóricas de Conjuntos

Leyes de Morgan Leyes asociativas Leyes conmutativas Leyes distributivas

Resumen

Oral Técnico Algebraico
Si ocurre , entonces también ocurre es un subconjunto de
y siempre ocurren a la vez y son sucesos equivalentes
y no pueden ocurrir a la vez y son sucesos disjuntos
ocurre si y sólo si no ocurre y son sucesos complementarios
ocurre si y sólo si ocurre al menos un es la unión de
ocurre si y solo si ocurren todos los e la intersección de todos los