L’intervallo di confidenza per la varianza

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Vogliamo derivare un intervallo di confidenza per la varianza incognita alle seguenti condizioni:

  1. Il valore atteso à incognito.

Uno stimatore corretto della varianza incognita à (vedi il capitolo sulle proprietà degli stimatori): Abbiamo già dimostrato (vedi la sezione La distribuzione della varianza campionaria) che normalizzata ha una distribuzione di Chi-quadrato con gradi di libertà. Grazie alla distribuzione di possiamo fare previsioni sulla probabilità della varianza campionaria . In altre parole possiamo determinare un intervallo di confidenza per con la probabilità Dove à il - quantile e il - quantile della distribuzione di Chi-quadrato con gradi di libertà. Trasformando la diseguaglianza possiamo derivare il coefficiente di confidenza: Il corrispondente intervallo di confidenza à Per un dato campione con i valori osservabili e una stima stima puntuale otteniamo un valore per la varianza incognita e l’intervallo di confidenza L’interpretazione à la stessa degli altri intervalli di confidenza.

  • L’intervallo di confidenza à simmetrico rispetto alla probabilità in quanto abbiamo:
  • L’interallo di confidenza à asimmetrico rispetto alla stima puntuale , in quanto la distribuzione di Chi-quadrato non à simmetrica.
  • La lunghezza dell’intervallo di confidenza dipende dalle variabili campionarie ed à una variabile casuale. La lunghezza dell’intervallo di confidenza dipende inoltre dalla dimensione campionaria e dal coefficiente di confidenza .

Data una popolazione di famiglie sulla quale sono state osservate le seguenti variabili:
= reddito mensile netto in DM
= spesa mensile per l’affitto
= spesa mensile per la macchina
La speranza matematica e la varianza delle variabili sono sconosciute e la popolazione à distribuita normalmente. Si determini la stima puntuale e per intervallo della varianza incognita . Nell’esempio si offre l’opportunità di osservare l’effetto del coefficiente di confidenza e della dimensione campionaria sulla lunghezza dell’intervallo di confidenza. Si consiglia di cambiare una grandezza alla volta mantenendo l’altra costante. Si prega di determinare i seguenti punti:

  • la variabile da analizzare
  • la dimensione campionaria
  • il coefficiente di confidenza (come decimale per esempio 0,95)

Risultati:
Come risultati di questo esempio interattivo otteniamo

  1. il corrispondente boxplot

Scegliendo la stessa variabile una seconda volta ma cambiando il coefficiente di confidenza o la dimensione campionaria vengono indicati nel grafico i due risultati per un confronto. Cliccate sull’icona Start per cominciare l’esempio interattivo.
Pazientate un momento mentre l’esempio viene caricato. Attenzione! l’elaborazione dei risultati richiede alcuni minuti. Per una popolazione di famiglie, indichiamo con la variabile casuale il reddito netto mensile (DM). Supponiamo che sia distribuita normalmente e che i due parametri e la varianza siano sconosciuti. Abbiamo quindi: . Nel capitolo Intervalli di confidenza per la speranza matematica abbiamo già visto come determinare un intervallo di confidenza per il reddito medio mensile della popolazione . In questo capitolo ci concetriamo sulla varianza incognita , per la quale vogliamo costruire un intervallo di confidenza con coefficiente . Estraiamo un campione casuale semplice di dimensioni con i seguenti valori (ordinati per grandezza):

Reddito mensile netto (DM) Reddito mensile netto (DM)
1 800 11 2500
2 1200 12 2500
3 1400 13 2500
4 1500 14 2700
5 1500 15 2850
6 1500 16 3300
7 1800 17 3650
8 1800 18 3700
9 2300 19 4100
10 2400 20 4300

Il reddito medio netto di questi campioni à e costituisce la stima puntuale del reddito netto medio della popolazione. Come stima puntuale della varianza incognita abbiamo Dalle tavole della distribuzione di Chi-quadrato abbiamo Di conseguenza l’intervallo di confidenza à dato da Dato il coefficiente di confidenza scelto supponiamo di aver determinato un intervallo che contiene la varianza effettiva .