Probabilità condizionata ed eventi indipendenti

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Spesso si à interessati alla probabilità di un determinato evento e si à in possesso di informazioni sul verificarsi di eventi correlati a quello a cui siamo interessati. Osserviamo il lancio di un dado. La giocatrice ha bisogno del punteggio 2 per vincere il gioco. La probabilità di questo evento à chiaramente 1/6. lancia il dado e annuncia ai suoi compagni di gioco che il risultato à pari. Nel calcolare la probabilità che il punteggio sia 2, i compagni di gioco considereranno adesso anche il fatto che il risultato à pari. Questo tipo di calcolo delle probabilità si scrive come: ovvero la probabilità che sia un due dato un risultato pari. In pratica si considera il risultato verificatosi {2,4,6} come nuovo spazio degli eventi, nel quale l’evento 2 appare con probabilità 1/3. Nel seguito definiremo questa probabilità in termini pià generali.

La probabilità condizionata

Dati gli eventi e definiti nello spazio degli eventi . La probabilità condizionata di dato il verificarsi certo di , indicata come , à definita: in modo analogo si ha Se l’evento nella formula precedente, rappresenta l’intersezione di due insiemi allora si puà riscrivere la formula come segue:

Teorema delle probabilità composte

Utilizzando la definizione di probabilità condizionata possiamo derivare la probabilità congiunta di due eventi: ovvero la probabilità che E si verifichino: e in modo analogo, In generale: :

Eventi Independenti

In generale l’informazione disponibile sul verificarsi di eventi correlati modifica la probabilità dell’evento e quindi:
Nel caso in cui la probabilità di non viene influenzata dal verificarsi o meno di . à quindi stocasticamente indipendente da . Se à indipendente da anche à indipendente da , i due eventi sono detti mutualmente indipendenti e quindi valgono le seguenti relazioni:





Il teorema delle probabilità composte per eventi indipendenti si puà estendere a eventi indipendenti tra loro: Per avere indipendenza stocastica di eventi deve quindi verificarsi: Attenzione a non confondere i concetti di eventi disgiunti e indipendenti. Dati due eventi disgiunti e con e , allora dato che la probabilità à ma bisogna tenere presente che: Un piccolo esempio dovrebbe chiarire le idee (gara di canottaggio tra Cambridge e Oxford); cliccate sul simbolo dell’audio.

Tabella a doppia entrata

Se l’investigazione ha due caratteri si usa una tabella a doppia entrata per mostrare le frequenze relative o/e le probabilità.

Somma
Somma

La probabilità nell’ultima colonna e nell’ultima righa à detta probabilità marginale (frequenza relativa se la tabella contiene le frequenze relative). La somma delle probabilità marginali e delle frequenze relative deve essere in ogni caso uguale a 1. Quindi l’ultima casella in basso a destra à sempre uguale a 1. La tabella a doppia entrata ci aiuta a capire se due eventi e sono indipendenti l’uno dall’altro; moltiplicando le probabilità marginali di due eventi qualsiasi dobbiamo infatti ottenere l’intersezione dei due eventi. Si osservi la tabella a doppia entrata con le seguenti probabilità: sono gli eventi e indipendenti?

Somma
Somma

In caso di indipendenza tutte le caselle centrali devono essere il prodotto delle corrispondenti probabilità marginali (teorema delle probabilità composte per eventi indipendenti).

Sum
Sum

Nell’esempio quindi gli eventi e sono indipendenti.

En folnode7 d k 1 2.gif

Un artigiano produce viti insieme ai suoi collaboratori. I dati della produzione per il 1998 sono i seguenti:

Produzione totale: 2000 viti
Gruppo 1 1400 viti
(l’artigiano) 1162 viti rispettano gli standard
238 viti no rispettano gli standard
Gruppo 2 600 screws
(i collaboratori) 378 viti rispettano gli standard
222 viti no rispettano gli standard

Le vendite stagnano e tutte le viti prodotte nel 1998 sono rimaste invendute in una scatola. Qual’à la probabilità, che una vite estratta dalla scatola sia conforme agli standard se sappiamo che à stata prodotta dal gruppo 1?
Utilizziamo le seguenti notazioni:
= {vite che rispetta gli standard}
= {vite che appartiene al gruppo 1}
= {vite che appartiene al gruppo 2}
La situazione à esposta nel seguente diagramma di Venn:

En folnode7 d k 1.gif

Dobbiamo determinare . La probabilità condizionata à definita come . L’evento definisce le viti che sono state prodotte dal gruppo 1 e sono conformi agli standard. Per ottenere , dividiamo il numero di viti con queste caratteristiche per il numero totale di viti: .
La probabilità puà essere calcolata come rapporto tra il numero di viti prodotte dal gruppo 1 e la produzione totale: .
Semplificando la formula della probabilità condizionata otteniamo: Cià significa che la probabilità di estrarre una vite che rispetta gli standard sapendo che la vite à stata prodotta dal gruppo 1 à uguale a 83 per cento. Si osservi che il calcolo precedente à basato sulle frequenze relative. Si puà quindi parlare di “probabilità”? In questo caso sà, si puà in quanto le frequenze relative si riferiscono allo spazio campionario totale (produzione totale nel 1998) e quindi sono equivalenti alle probabilità. Se dovessimo generalizzare i nostri risultati per gli anni 1997 e 1998, le frequenze relative nel 1998 non sarebbero pià equivalenti alle probabilità ma sarebbero solo valori approssimativi. Si vuole dimostrare che:
Per ogni coppia di eventi indipendenti e abbiamo che . Se e sono indipendenti allora abbiamo: Moltiplichiamo entrambe le parti dell’equazione per : Sommiamo a entrambi i termini dell’equazione e riscriviamo la probabilità condizionata usando la sua definizione:

En folnode7 d mi 1.gif

Analogamente si puà mostrare che . Vogliamo dimostrare che:
La probabilità congiunta di due eventi indipendenti e puà essere calcolata come (teorema delle probabilità composte per eventi indipendenti). Utilizziamo il risultato dimostrato sopra assieme all’assioma della probabilità condizionata :