Combinaciones

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Cada grupo de k elementos elegidos de un conjunto de n elementos en los que el orden de los elementos seleccionados no es importante se denomina combinación de orden k de n elementos.

Combinaciones sin repetición

Ordenar los elementos no juega un papel importante cuando se quiere determinar el número de combinaciones (es decir, los grupos a b y b a son combinaciones equivalentes). Por lo tanto el número de combinaciones de orden k es menor que el número de variaciones de orden k de un conjunto de n elementos. El número de variaciones, que difiere de otra sólamente por el orden de sus elementos, está dado por P(k). Así pues, el número de combinaciones de orden k de n elementos sin repetición (se denota como K(n; k)) es: K(n; k) = \frac{V(n; k)}{P(k)} = \frac{n\,!}{k\,! \cdot
(n-k)\,!} = \left(
    \begin{array}{c}
        n\\
        k
    \end{array} \right) Ejemplo con elementos , y (n=3)

  • Para k=1 es K(3;1) = 3 y estas tres posibilidades son:

  • Para k=2 es K(3;2) = V(3;2)/P(2) = 6/2 = 3:

  • Para k=3 es K(3;3) = V(3;3)/P(3) = 3/3 = 1,

de esta manera, sólo hay una combinación:

Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición pueden incluir un elemento varias veces; por lo tanto, el número máximo posible de combinaciones de orden k de n elementos con repetición (denotado como K^W(n;k)) es K^W(n;k) =
\left(
    \begin{array}{c}
    n + k - 1\\
    k
    \end{array} \right) Ejemplos con elementos , y (n=3)

  • Para k=1 es K^W(3;1) = 3 y las tres posibilidades son:

  • Para k=2 es K^W(3;2) = 6:


Millones de alemanes prueban la suerte cada sabado en la loteria, llamada Lotto. Seleccionan 6 números de 49 y esperan que, gracias a esos 6 números, se hagan ricos. Basan las elecciones en números casi “místicos” —números como la fecha de nacimiento de alguien, el cumpleaños del perro, números sugeridos por el horóscopo, etc. ?‘Cuántas posibilidades existen en realidad de elegir 6 números de 49? >De 49 números (elementos), se eligen exactamente 6. El orden en que los números son elegidos no importa—da igual si uno tacha primero el 4 y después el 23 o viceversa. Lo que significa que el orden en que se se toman los elementos no se tiene en consideración. Por consiguiente, las permutaciones (simples reordenamientos de n elementos) y también variaciones (la ordenación influye) no son una elección incorrecta. El concepto correcto es una combinación. Sin embargo, todavía hay dos posibilidades—combinaciones con y sin repetición. Puesto que cada número del boleto de la lotería sólo se puede tachar una vez, la repetición de números (elementos) no es posible y usaremos combinaciones sin repetición. n = 49 \qquad k = 6 K(n,k) = \left(
\begin{array}{c} n\\ k
\end{array} \right) = \frac{V(n,k)}{P(k)} = \frac{n\,!}{k\,!
\cdot (n - k)\, !} K(n,k) = \frac{49\,!}{6\,! \cdot (49 -
6)\,!} = 13\,983\,816 Hay 13983816 posibles combinaciones de 6 numeros de 49 posibles.