I parametri delle distribuzioni duedimensionali

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Per le distribuzioni marginali e condizionate possiamo utilizzare i parametri di localizzazione e di variabilità visti per le distribuzioni unidimensionali in quanto sono anch’esse unidimensionali.

Covarianza

La covarianza à un parametro speciale per le distribuzioni duedimensionali che misura la variabilità congiunta di due caratteri e misurati sulla scala metrica. La covarianza per una distribuzione di frequenze duedimensionale con frequenze assolute e frequenze relative puà essere calcolata come segue: Al contrario della varianza, la covarianza puà assumere anche valori negativi. Proprietà

  • se le variabili e sono indipendenti, la covarianza à zero.

    Non vale perà la relazione inversa. Cià significa che se la covarianza tra i caratteri e à zero non possiamo concludere che le due varibili sono indipendenti.

  • Il contributo di un’osservazione alla covarianza à positivo se le differenze e hanno lo stesso segno; à negativo se le differenze e hanno segno opposto.

  • La covarianza di una variabile con se stessa corrisponde alla varianza della variabile:

  • Trasformazioni lineari: ,

Variabili indipendenti Indipendeza significa che la distribuzione di una variabile non dipende dai valori assunti dall’altra variabile. Se due varibili e sono indipendenti:

  1. Tutte le distribuzioni condizionate di (rispettivamente ) sono uguali le une alle altre e alle corrispondenti distribuzioni marginali, ovvero per la distribuzione condizionata di : per ogni e per ogni

    e per la distribuzione condizionata di : per ogni e per ogni .

  2. La frequenza relativa del verificarsi congiunto dei valori e delle variabili e à uguale al prodotto delle frequenze relative delle distribuzioni marginali:

    Una rappresentazione analoga utilizzando la frequenza assoluta à:

    Cià deve valere per ogni e .

In caso contrario i due caratteri e sono empiricamente dipendenti. Solitamente non utilizziamo la covarianza come parametro autonomo. Serve soprattutto per calcolare altri parametri (vedi il coefficiente di correlazione nel prossimo paragrafo). Su imprese, abbiamo rilevato le variabili - profitti annuali (in Mio. DM) e - affitto annuale per il sistema informatico (in 1000 DM). I valori assunti sono indicati nelle colonne 2 e 3 della seguente tabella.

impresa profitti annuali affitti annuali
1 10 30 -20 -170 3400
2 15 30 -15 -170 2550
3 15 100 -15 -100 1500
4 20 50 -10 -150 1500
5 20 100 -10 -100 1000
6 25 80 -5 -120 600
7 30 50 0 -150 0
8 30 100 0 -100 0
9 30 250 0 50 0
10 35 180 5 -20 -100
11 35 330 5 130 650
12 40 200 10 0 0
13 45 400 15 200 3000
14 50 500 20 300 6000
15 50 600 20 400 8000

Qual’à la variabilità congiunta di queste due variabili e nelle 15 imprese? Le medie aritmetiche delle varibili sono: (Mio.DM) (1000.DM) Le deviazioni dei valori assunti dalla varibile dalla sua media aritmentica sono indicate nella colonna 4 della tabella, per la variabile nella colonna 5. La covarianza à calcolata con la formula: I prodotti delle deviazioni di ogni impresa sono indicati nella colonna 6 la somma di tale colonna ci dà la covarianza. . Se le variabili e sono indipendenti la loro covarianza à zero. Ovvero: Dimostrazione: