Il teorema del limite centrale

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Come già espresso nel paragrafo della distribuzione normale, la somma di n variabili casuali normali indipendenti si distribuisce normalmente e cià vale per qualsiasi valore di n.
Se le variabili casuali non sono normali, questa proprietà non à pià esatta ma rimane approssimativamente corretta per grandi valori di n.
Siano variabili indipendenti distribuite identicamente con E() = e Var() = per i = 1,,n. La somma di queste variabili casuali per grandi n à approssimativamente distribuita normalmente con E() = n e Var() = n
N(n,n),
Dove significa approssimativamente per grandi n.
Una condizione fondamentale à che nessuna delle variabili abbia una varianza cosà alta da influenzare in maniera eccessiva la varianza totale.
La distribuzione N() dipende dal numero di n di addendi e per n che tende ad infinito avrebbe una speranza matematica e una varianza infinite. Il significato di questo teorema puà essere spiegato meglio usando la somma di variabili casuali standardizzate.

Il teorema del limite centrale

Siano variabili indipendenti distribuite identicamente: E() = e Var() = .
la funzione di ripartizione della somma standardizzata di queste variabili casuali per n converge verso una funzione di ripartizione normale: La variabile casuale “somma standardizzata” ha per grandi n approssimativamente una distribuzioone normale: . In questo esempio si cercherà di spiegare il teorema del limite centrale in modo esemplificato. Siano variabili casuali contninue indipendenti e distribuite identicamente nell’intervallo : La speranza matematica e la varianza sono: Consideriamo una serie di somme di queste variabili, dove l’indice della variabile somma indica il numero degli addendi: Per esempio, per , , e abbiamo:


.
e le densità di probabilità: Le densità corrispondenti sono mostrate nel seguente grafico assieme alla densità della distribuzione normale standardizzata :

En s2 27 f 7.gif

Come si puà dedurre dal grafico, la convergenza verso una distribuzione normale aumenta per sempre pià grandi, fino a raggiungere una buona approssimazione per . Il teorema del limite centrale (Lindeberg e Làvy) costituisce il motivo principale della grande importanza della distribuzione normale. La somma di un numero finito ma sufficientemente elevato di variabili casuali indipendenti identicamente distribuite puà essere considerata distribuita normalmente. Questo risultato viene utilizzato soprattutto nella statistica inferenziale. La definizione di un numero “sufficientemente elevato” dipende dalla distribuzione di partenza delle variabili casuali sommate; in molti casi à sufficiente avere . La convergenza verso una distribuzione normale avviene piuttosto rapidamente se le variabili sommate hanno una distribuzione simmetrica, se invece le variabili hanno una distribuzione asimmetrica à necessario un numero di osservazioni molto pià elevato per raggiungere la stessa approssimazione. Il teorema del limite centrale ha diverse generalizzazioni come per esempio il teorema del limite centrale per variabili casuali indipendenti ma non distribuite identicamente. Esistono inoltre diversi teoremi sulla convergenza di distribuzioni verso altre distribuzioni non normali.