La distribuzione binomiale

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La distribuzione binomiale deriva dalla ripetizione n volte di un esperimento aleatorio dal quale possiamo ottenere o l’ evento A con probabilità costante p, o l’ evento complementare con probabilità 1-p. La variabile casuale discreta che contiene il numero di volte in cui si à verificato A nelle n ripetizioni dell’esperimento presenta una distribuzione binomiale con i parametri n e p se la sua densità di probabilità à definita come:

La variabile viene indicata con:

La funzione di ripartizione à data da:

La media e la varianza di una distribuzione binomiale B(n;p) sono:

Le proprietà della distribuzione binomiale sono:

La proprietà additiva:

Se e sono variabili casuali indipendenti, allora la variabile casuale ha una distribuzione binomiale con i parametri e ,
.

Simmetria:

Se e allora . La distribuzione binomiale à tabulata per determinati valori di n e p (). La distribuzione binomiale dipende da due parametri n e p che influenzano - la sua forma - la sua posizione, ovvero la sua media e - la sua varianza Questo esempio interattivo dà la possibilità di variare uno o entrambi i parametri per osservare la corrispondente rappresentazione grafica della funzione di probabilità B(n;p). Si consiglia di cambiare inizialmente solo un parametro mantenendo l’altro costante per osservarne l’effetto. Inoltre si possono calcolare le probabilità per dati valori di X. Occasioni migliori per gli hamburger alla griglia La pubblicità televisiva per Hamburger-Land afferma: “La nostra indagine ha mostrato che il 75% delle persone preferisce l’hamburger fritto.” Nella stessa pubblicità si afferma inoltre: “Se si chiede a quattro clienti di Hamburger-Land come preferiscono l’hamburger al massimo uno di loro lo preferirà non fritto” Sono queste affermazioni equivalenti o no? Le condizioni per un esperimento bernoulliano sono soddisfatte:
il risultato dell’esperimento puà essere solo uno dei due eventi:
= { hamburger non fritto} ; = { hamburger fritto} con probabilità e . Dato che i clienti di Hamburgerland sono molti possiamo trascurare il reinserimento o meno del cliente selezionato. Le probabilità possono quindi essere considerate costanti e la selezione come indipendente. La variabile casuale X = numero degli hamburger non fritti in 4 decisioni ha una distribuzione binomiale con i parametri n = 4, p = 0.25;

cerchiamo la probabilità
che puà essere calcolata come
La probabilità che l’evento “hamburger non fritto” si verifichi al massimo una volta à data dalla somma delle probabilità che l’“hamburger non fritto” venga scelto da nessuno o da uno dei clienti. Cià corrisponde alla funzione di distribuzione binomiale per X=1. Nella tabella abbiamo la distribuzione binomiale per n = 4 e p = 0,25:

0 0.3164 0.3164
1 0.4219 0.7383
2 0.2109 0.9492
3 0.0469 0.9961
4 0.0039 1.0000

En s2 22 e1 2.gif

Nell’ultima colonna della tabella si trova = 0.7383. A condizione che le probabilità trovate dall’indagine di Hamburgerland P(hamburger fritto) = 0.75 e P(hamburger non fritto) = 0.25 siano corrette, l’affermazione della pubblicità à corretta con una probabilità dello 0.7383.

En s2 22 e 1.gif

Secondo un’inchiesta svoltasi sugli studenti di una grossa università, il 65% degli studenti ha un lavoro part-time. Qual’à la probabilità che su 8 studenti scelti a caso al massimo 4 abbiano un lavoro? Le condizioni di un esperimento bernoulliano sono soddisfatte:
Ogni “esperimento” puà avere solo due risultati:
A = studente con un lavoro part-time  ; studente senza lavoro part-time , P(A) = 0.65 ; P() = 0.35 .
Dato che il numero degli studenti all’università N à molto grande e che a confronto il numero degli studenti selezionati n à molto piccolo, possiamo lavorare con una distribuzione binomiale per approssiamzione. Si possono quindi considerare le probabilità come costanti e la scelta degli studenti come indipendente. La variabile casuale di interesse à X = numero di studenti con un lavoro part-time, con distribuzione binomiale: X B(n;p) = B(8;0.65).
Vogliamo calcolare la probabilità P(X 4), ovvero il valore della funzione di distribuzione F(4). La funzione di distribuzione B(8;0.65) non à data in tabella. Il calcolo secondo la formula data à comunque difficile: bisogna calcolare 5 probabilità f(x), x = 0,1, , 4 e poi sommarle. Grazie ad un computer si puà calcolare la funzione di distribuzione B(8;0.65) molto pià facilmente e otteniamo la seguente tabella:

0 0.0002 0.0319
1 0.0036 0.1691
2 0.0253 0.4278
3 0.1061 0.7064
4 0.2936 0.8939
5 0.5722 0.9747
6 0.8309 0.9964
7 0.9681 0.9998
8 1.0000 1.0000

Fig.1: Funzione di probabilità B(8;0,35) e B(8;0,65)

En s2 22 e 2.gif

Fig.2: Funzione di distribuzione B(8;0,35) e B(8;0,65)

En s2 22 e 3.gif

La probabilità che su n=8 studenti selezionati a caso, al massimo 4 abbiano un lavoro part-time à dello 0.2936. Se si vuole usare la tabella della funzione di distribuzione, puà essere d’aiuto utilizzare la simmetria della distribuzione binomiale.
Datto che X = numero degli studenti con un lavoro part-time B(8;0,65), allora Y = numero degli studenti senza un lavoro part-time con distribuzione B(8;0,35).
X 4, ovvero x = 0,1,2,3,4 corrisponde a Y 4, ovvero y = 8,7,6,5,4.
Invece della probabilità P(X 4) possiamo cercare P(Y 4) = 1 - P(X 3). Dalla tabella della funzione di distribuzione B(8;0,35) troviamo nella terza colonna P(Y 3) = 0,7064 e cià implica che
P(Y 4) = 1 - 0.7064 = 0.2936. In un urna ci sono 10 palline, 3 sono bianche e 7 sono rosse. = pallina bianca ; = pallina rossa ; Dopo ciascuna estrazione, la pallina viene reinserita nell’urna. Vengono fatte 5 estrazioni (n=5). Le condizioni di un esperimento bernoulliano sono chiaramente soddisfatte:

  • ci sono solo 2 possibili risultati per ogni estrazione
  • le probabilità sono costanti in quanto le palline vengono reinserite nell’urna
  • le estrazioni sono mutualmente indipendenti

Vogliamo calcolare la probabilità di estrarre due palline bianche P(X = 2). = numero di palline bianche nella i-esima estrazione per tutte Date 5 estrazioni, abbiamo 5 variabili casuali indipendenti: X = numero di palline bianche estratte in cinque ripetizioni n=5 Il numero di tutte le possibili configurazioni in cui compariranno due palline bianche e tre rosse à dato da: Quindi la probabilità à: La seguente tabella ci fornisce la distribuzione di probabilità e la funzione di distribuzione della variabile binomiale B(5;0,3):

0 0.1681 0.1681
1 0.3601 0.5282
2 0.3087 0.8369
3 0.1323 0.9692
4 0.0284 0.9976
5 0.0024 1.0000

La rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità B(5;0,3) à la seguente:

En s2 22 f 3.gif

La probabilità di un certo evento puà essere calcolata dalla funzione di distribuzione:
La probabilità di estrarre 2 palline bianche in 5 prove à dello 0.3087. Dimostrazione della distribuzione binomiale l’esperimento aleatorio ha le seguenti proprietà:

  • Possono verificarsi solo i due eventi e
  • le probabilità di questi eventi sono e
  • l’esperimento à ripetuto n volte, le prove sono indipendenti e le probabilità sono costanti

Tale esperimento à detto con prove ripetute, con reinserimento o bernoulliano. Per ogni esperimento si definisce una variabile casuale che puà assumere solo i valori 0 (se otteniamo l’evento ) e 1 (se si verifica ). Date le probabilità P(A) = p e P() = 1 - p la variabile casuale avrà la seguente distribuzione di probabilità (distribuzione bernoulliana): Dopo aver ripetuto l’esperimento n volte, investighiamo il numero di volte in cui si à verificato A, osserviamo quindi la variabile casuale numero di volte in cui si verifica A in n prove : X à una funzione (una combinazione lineare) di n variabili casuali. L’evento X = x si verifica se e solo se l’evento A si verifica esattamente x volte e l’evento (n-x) volte nelle n prove. Per esempio: L’indice dell’evento indica il numero della prova. Data l’indipendenza delle prove, la probabilità che à data da:

Questa probabilità à calcolata per l’evento A che si verifica x volte e compare in un ordine di successione ben determinato dei risultati. Per calcolare la probabilità di tutte le configurazioni possibili in cui l’evento A si verifica x volte ma in in diverso ordine di presentazione dobbiamo calcolare tutte le combinazioni semplici (senza tener conto dell’ordine) o il coefficiente binomiale: Dato che ciascuna di queste configuarazioni presenta la medesima probabilità di verificarsi ed à indipendente dalle altre la probabilità della variabile binomiale à: La variabile binomiale à discreta e quindi la funzione di probabilità à rappresentata da un diagramma a linee e la funzione di ripartizione à una funzione a gradini. I grafici seguenti mostrano la funzione di probabilità della variabile binomiale per diversi valori di p tenendo n costante. Si puà notare come per , la distribuzione sia spostata verso sinistra e lo spostamento à tanto maggiore quanto pià p à piccolo. La distribuzione à simmetrica rispetto al valore per . Per la distribuzione si sposta a destra. Per valori di n elevati, la funzione di probabilità puà essere approssimata dalla funzione di densità di una distribuzione normale con e . Questa approssimazione migliora tanto pià p si avvicina a 0,5 e peggiora per valori di p prossimi a 0 o 1. Il fondamento teoretico di questa approssimazione deriva dal teorema del limite centrale.