Approssimazione di distribuzioni

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Approssimazione significa che sotto determinate condizioni possiamo utilizzare una distribuzione pià semplice al posto di quella originale. Il teorema del limite centrale ci fornisce le basi teoriche che ci permettono di effettuare delle approssimazioni. Quando si approssima la distribuzione d’origine con una distribuzione limite si introduce chiaramente un errore, ovvero la probabilità che la distribuzione limite potrebbe non corrispondere a quella della distribuzione d’origine. Per mantenere questo errore cosà piccolo da poter essere trascurato dobbiamo accertarci che alcuni criteri di approssimazione siano rispettati. Nei paragrafi seguenti saranno presentate le possibili approssimazioni per diverse distribuzioni e i corrispondenti criteri che devono essere rispettati per poterne specificare la qualità. La distribuzione Normale come distribuzione limite:

  • Approssimazione di una distribuzione Binomiale con una Normale:

    Questa approssimazione si basa sul teorema del limite di Laplace e DeMoivre.
    Siano variabili casuali indipendenti, con distribuzione di Bernoulli con e per tutti . Abbiamo allora che à una variabile casuale con distribuzione Binomiale , con speranza matematica e varianza .
    Per , la distribuzione di variabili casuali standardizzate

    converge verso una distribuzione standardizzata Normale N(0;1). Per grandi n abbiamo:

    con speranza matematica e varianza .

    Dato che la distribuzione Binomiale à discreta mentre la distribuzione Normale à continua bisogna apportare una correzione per migliorare l’approssimazione (detta correzione di continuità):

    Per approssimare una distribuzione Binomiale in modo sufficientemente appropriato vale la regola:
    np 5 e n(1-p) 5 .

  • Approssimazione di una distribuzione di Poisson con una Normale

    Dato che la distribuzione di Poisson puà essere derivata dalla distribuzione Binomiale con e che la distribuzione Binomiale puà essere approssimata dalla distribuzione Normale, anche la distribuzione di Poisson puà essere approssimata dalla distribuzione Normale per grandi .

    Sia una variabile casuale con distribuzione di Poisson PO(). Per grandi , puà essere approssimata da una distribuzione Normale con speranza matematica e varianza (anche in questo caso dobbiamo effettuare la correzione di continuità):

    Per ottenere una approssimazione appropriata vale: 10

  • Approssimazione di una distribuzione Ipergeometrica con una Normale

    Se e , allora una distribuzione ipergeometrica puà essere approssimata da una distribuzione Normale con i parametri:

    Anche in questo caso dobbiamo tenere conto della correzione di continuità.

  • Approssimazione di una distribuzione Ipergeometrica con una Normale

    Le distribuzioni Ipergeometrica e Binomiale differiscono soprattutto per il tipo di esperimento da cui sono generate: nel primo caso non abbiamo il reinserimento mentre nel secondo caso sà. Se aumentiamo il numero degli elementi totali N e degli elementi M che presentano la caratteristica di interesse (N/M converge verso una costante p), il fatto che l’esperimento avvenga senza reinserimento perde importanza. Per N ( e M ) la distribuzione Ipergeometrica converge verso una distribuzione Binomiale. Di conseguenza per grandi N e M e per un piccolo n/N , la distribuzione ipergeometrica puà essere approssimata da una distribuzione Binomiale con p = M/N. Regola per una buona approssimazione: n/M 0.05 .

  • Approssimazione di una distribuzione Binomiale con una distribuzione di Poisson

    Dato che la distribuzione di Poisson puà essere derivata da una distribuzione Binomiale, quest’ultima puà essere approssimata da una distribuzione di Poisson , se n à grande e la probabilità p à piccola.
    Regola per una buona approssimazione: e p 0.05.

In un determinato villaggio 1 casa su 100 subisce mediamente un danno all’anno a causa del maltempo. Se in questo villaggio ci sono 100 case, qual’à la probabilità che esattamente 4 case subiscano dei danni dovuti al maltempo in un anno?
Per ogni casa ci sono solo due possibili risultati: – “danneggiata” e “non danneggiata”. Le probabilità di questi eventi sono costanti: e . La variabile casuale = {numero di case danneggiate} ha la distribuzione Binomiale . Calcoliamo la probabilità : Le condizioni per un’approssimazione con una distribuzione di Poisson sono soddisfatte e quindi possiamo calcolare la probabilità della distribuzione di Poisson con : Come si puà osservare c’à una buona corrispondenza tra le probabilità e . Cià vale anche per le distribuzioni.

0 0.36603 0.36788
1 0.36973 0.36788
2 0.18486 0.18394
3 0.06100 0.06131
4 0.01494 0.01533
5 0.00290 0.00307
6 0.00046 0.00051
7 0.00006 0.00007
8 0.00000 0.00000

En s2 28 e 5.gif

Dopo una tempesta 300 case delle 2000 presenti nella regione sono danneggiate. Qual’à la probabilità che tra 10 case scelte casualmente ce ne siano 2 danneggiate? Anche in questo caso abbiamo solo due possibili risultati per ogni casa – “danneggiata” e “non danneggiata”. Abbiamo inoltre , , e . La probabilità à Il calcolo à piuttosto complicato e le condizioni per una approssimazioni sono soddisfatte quindi preferiamo utilizzare una distribuzione Binomiale. Calcoliamo la probabilità ricercata con una distribuzione Binomiale con parametri : Anche in questo caso l’approssimazione à piuttosto buona e l’errore creato à trascurabile.

En s2 28 f 3.gif

In base ad una lunga esperienza si sa che il 10% di tutte le dichiarazioni dei redditi in una certa grande città contiene errori. Scegliendo casualmente 100 dichiarazioni dei redditi, qual’à la probabilità che 12 di queste siano errate? Ci sono solo due possibili risultati per ogni dichiarazione – “errata” o “corretta”, con probabilità e . La variabile casuale – “numero di dichiarazioni errata tra 100 scelte a caso” ha la distribuzione Binomiale . Vogliamo calcolare la probabilità : Il valore non puà essere trovato in alcuna tavola e dobbiamo calcolarlo. Dato che le condizioni per l’uso di una approssimazione con una distribuzione Normale ( e ) sono soddisfatte possiamo evitare laboriosi calcoli. Utilizziamo quindi una distribuzione Normale . La speranza matematica e la varianza della variabile originale binomiale sono: e quindi possiamo utilizzare come si puà vedere dal grafico. Ricorda: per variabili casuali continue le probabilità sono date dall’area sotto alla funzione di densità e quindi la probabilità di un valore puntuale à nulla, per esempio . Per questo sottraiamo e sommiamo 0.5 a 12 per effettuare una correzione di continuità: invece di utilizzare il valore puntuale come per le variabili discrete, dobbiamo considerare per la variabile Normale continua l’intervallo e approssimiamo con ovvero l’area al di sotto alla funzione di densità di tra i valori 11.5 e 12.5.

En s2 28 f 2.gif

Per poter utilizzare le tavole della distribuzione Normale standardizzata standardizziamo la variabile casuale : Dalle tavole otteniamo e .
Quindi L’approssimazione à piuttosto buona dato che l’errore ad essa associato à trascurabile: 0.1052 - 0.0988 = 0.0064. Dalle probabilità calcolate si puà inoltre dedurre:

  • la probabilità approssimativa che al massimo 12 dichiarazioni dei redditi siano errate su estratte a caso à:
  • la probabilità approssimativa che pià di 12 dichiarazioni siano errate su à:
  • la probabilità approssimativa di estrarre almeno 12 dichiarazioni errate su à: