المعلومات الاضافية للتباين المشترك

المعلومات الاضافية للتباين المشترك

اذا المتغيرين $X$ و $Y$ مستقلين عندئذ تباينهم المشترك يساوي للصفر.

ذلك يعني: $Cov(X,Y)=s_{xy}=0$

البرهان:

$=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-E(x))(y_{j}-E(y))\cdot p_{ij}$	$\,S_{XY}$
	$=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{r}(x_{i}-E(x))(y_{j}-E(y))\cdot p_{i}\cdot p_{j}$
	$=\left\{\sum _{i=1}^{m}(x_{i}-E(x))p_{i}\right\}\left\{\sum _{j=1}^{r}(y_{j}-E(y))p_{j}\right\}$
	$=\left\{\sum _{i=1}^{m}x_{i}p_{i}-E(x)\sum _{i=1}^{m}p_{i}\right\}\left\{\sum _{j=1}^{r}y_{j}p_{j}-E(y)\sum _{j=1}^{r}p_{j}\right\}$
	$\,=\left(E(x)-E(x)\right)\left(E(y)-E(y)\right)=0$