مثال أخر لايجاد حجم العينة المطلوبة

مثال أخر لايجاد حجم العينة المطلوبة

تريد شركة (بيميل بان) عمل البيانات حول توقيت قطاراتها بشكل عملي متوسط التأخير ونسبة القطارات دقيقة المواعيد. يبنى مجال الثقة على العينة العشوائية المستخدمة .

السؤال 1 : ما هو حجم العينة المطلوبة المقابلة لمجال الثقة لمتوسط التأخير عند درجة الثقة والعرض 30دقيقة .

نفرض المتغير العشوائي $X=$ مدة التأخير لها التوزيع الطبيعي مع المتوسط $E(X)=\mu$ والتباين المعلوم $Var(X)=\sigma ^{2}=68,8$.

نريد مجال الثقة لأجل $\mu$. نلاحظ أن: $z_{1-\alpha /2}=z_{0,95}=1,645$.

حينئذ حجم العينة المطلوبة هي :

$n\geq {\frac {\sigma ^{2}z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}}{e^{2}}}={\frac {68,8^{2}\cdot 1,645^{2}}{30^{2}}}=14,23$

اذا: سيكون لمجال الثقة الدقة المطلوبة والعرض.

السؤال 2 : ما هو حجم العينة المطلوبة لأجل مجال الثقة لأجل $\pi$ (نسبة القطارات الدقيقة المواعيد) حيث لا يتجاوز الطول 0,1 عند درجة الثقة .

نفرض التقريب الطبيعي لأجل توزيع (القاعدة هي: $n\geq 100$) نلاحظ أن: $z_{1-\alpha /2}=z_{0,975}=1,96$.

نحتاج لايجاد n لتكون كافية:

$n\geq {\frac {4\cdot z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}\cdot {\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{L^{2}}}={\frac {z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}^{2}\cdot {\widehat {\pi }}\cdot (1-{\widehat {\pi }})}{E^{2}}}$

يمكن الحصول على الحد الأدنى لحجم العينة بوضع: $\pi =0,5$

نحصل:

$n\geq {\frac {z^{2}}{4e^{2}}}={\frac {1,96^{2}}{4\cdot 0,05^{2}}}=384,16$

ولتحقيق العرض المطلوب ودرجة الثقة نحتاج