مثال2: المتغير العشوائي المستمر

$X$ متغير عشوائي مستمر مع الكثافة:

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{array}in 3:1»): {\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0.25x-0.5\ & \text{\rm for}\... ... for}\ 4<x\leq 6 \\ 0 & \text{\rm jinak.} \end{array}\right. }

نحسب القيمة المتوقعة $X$

$\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx$$=$$E(X)=\mu$

$\int _{2}^{4}x(0,25x-0,5)\,dx+\int _{4}^{6}x(-0,25x+1,5)\,dx$$=$

$\int _{2}^{4}(0,25x^{2}-0,5x)\,dx+\int _{4}^{6}(-0,25x^{2}+1,5x)\,dx$$=$

$\left[0,25{\frac {1}{3}}x^{3}-0,5{\frac {1}{2}}x^{2}\right]_{2}^{4}+\left[-0,25{\frac {1}{3}}x^{3}+1,5{\frac {1}{2}}x^{2}\right]_{4}^{6}$$=$

$4$$=$

نحسب التباين:

$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx-[E(X)]^{2}$$=$$Var(X)=\sigma ^{2}$

$\int _{2}^{4}x^{2}(0,25x-0,5)\,dx+\int _{4}^{6}x^{2}(-0,25x+1,5)\,dx-4^{2}$$=$

$\int _{2}^{4}(0,25x^{3}-0,5x^{2})\,dx+\int _{4}^{6}(-0,25x^{3}+1,5x^{2})\,dx-4^{2}$$=$

$\left[0,25{\frac {1}{4}}x^{4}-0,5{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{2}^{4}+\left[-0,25{\frac {1}{4}}x^{4}+1,5{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{4}^{6}-16$$=$

$0,\,6667\,.$$=$

الانحراف المعياري هو $\sigma =0.8165$.

التوزيع لهذا المتغير العشوائي المستمر له القيمة المتوقعة 4 والانحراف المعياري $0.8165$