خصائص المقدرات

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$

$MSD={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$

أي مقدر سيستخدم ؟

مثال 3 :

نفترض تابع التوزيع للمجتمع توزيع بواسون , لأجل $MSE=Var({\hat {\theta }})+[bias\,({\hat {\theta }})]^{2}\,.$

اذا وجدت عدة مقدرات للعنصر المجهول للمجتمع سيختار الشخص "المقدر" الذي له متوسط خطأ المربعات الأقل.

نبدأ مع متوسط خطأ المربعات سيتم عرض الخواص الهامة الثلاثة للمقدرات والتي تسهل البحث لأجل المقدر الأفضل.

عدم التحيز:

المقدر ${\hat {\Theta }}$ للعنصر المجهول $\vartheta$ غير متحيز . اذا توقع المقدر يساوي قيمة العنصر الحقيقي :

$E({\hat {\Theta }})=\vartheta$

حيث متوسط توزيع العينة ${\hat {\Theta }}$ يساوي لقيمة العنصر الحقيقي $\vartheta$.

لأجل المقدر غير المتحيز متوسط خطأ المربعات يساوي لتباين المقدر.

$MSE=Var({\hat {\Theta }})$

لهذا يعطي تباين المقدر قياس جيد لدقة المقدر.

اذا المقدر غير متحيز عندئذ توقع المقدر مختلف عن قيمة العنصر الحقيقية ,ذلك يعني

${\mbox{bias}}({\hat {\Theta }})=E({\hat {\Theta }})-\vartheta \neq 0$

تقارب عدم التحيز:

يدعى المقدر ${\hat {\Theta }}$ بتقارب عدم التحيز اذا

$\lim _{n\rightarrow \infty }E({\hat {\Theta }})=\vartheta$

بمعنى يقترب التحيز للصفر مع زيادة حجم العينة $n$ .

الفعالية

عندما توجد عدة مقدرات غير متحيزة لنفس العنصر, في هذه الحالة سيختار المرء المقدر مع التباين الأصغر (الذي هو في هذه الحالة مساوي لمتوسط خطأ المربعات).

ندع ${\hat {\Theta }}_{n}$ و ${\hat {\Theta }}_{n}^{\star }$ مقدرين غير متحيزين

الى $\vartheta$ باستعمال حجم العينة $n$. يدعى المقدر${\hat {\Theta }}_{n}$ بالفعال نسبيا الى ${\hat {\Theta }}_{n}^{\star }$ اذا تباين ${\hat {\Theta }}_{n}$ أصغر من تباين ${\hat {\Theta }}_{n}^{\star }$ بمعنى:

$Var({\hat {\Theta }}_{n})<Var({\hat {\Theta }}_{n}^{\star })$

يدعى المقدر ${\hat {\Theta }}_{n}$ بالفعال اذا تباينه أصغر من تباين أي مقدر غير متحيز أخر.

التقارب

التقارب لمقدر هي الخاصة التي تركز على تصرف المقدر في العينات الكبيرة . في العموم يتطلب التقارب بأن

المقدر يقترب لقيمة العنصر الحقيقية مع احتمال عالي في العينات الكبيرة .يكون كافي اذا تحيز وتباين

المقدر يقترب للصفر. نفترض

$\lim _{n\rightarrow \infty }[E({\hat {\Theta }}_{n})-\vartheta ]=0$

و

$\lim _{n\rightarrow \infty }Var({\hat {\Theta }}_{n})=0$

عندئذ المقدر متقارب. بشكل مكافئ سيلخص الشرطيين باستعمال:

$\lim _{n\rightarrow \infty }MSE({\hat {\Theta }}_{n})=0$

ويشير مفهوم التقارب كتقارب المتوسطات المربعة. كصيغة بديلة والمعروفة كتقارب ضعيف تعرف كالتالي:

$\lim _{n\rightarrow \infty }P(|{\hat {\theta }}_{n}-\vartheta |<\epsilon )=1$

هذا يعني ينتج احتمال المقدر ${\hat {\Theta }}_{n}$ للقيم ضمن المجال الصغير حول العنصر الحقيقي $\vartheta$.

تقترب القيمة للواحد مع زيادة حجم العينة $n$. يختلف احتمال المقدر ${\hat {\Theta }}_{n}$ عن قيمة العنصر الحقيقي بأكثر من $\epsilon >0$. يقترب للصفر مع زيادة حجم العينة $n$ ذلك يعني

$\lim _{n\rightarrow \infty }P(|{\hat {\Theta }}_{n}-\vartheta |\geq \epsilon )=0$