الوصف العددي للتوزيعات التكرارية أحادية البعد

${\underset {x_{j}}{\arg \max }}\;\;f\left(x_{j}\right)\}$

المنوال للبيانات المستمرة المبوبة

فئة المنوال هي الفئة ذات التكرار الأكبر , كما يتألف مجال الفئة من العديد من الأعداد غير المنتهية, نقدم الاصطلاح البسيط , الاصطلاح البسيط هو استعمال مركز الفئة لفئة المنوال. تتضمن تسوية تقنية بديلة لاختيار النقطة التي تتحرك نحو الخلية المجاورة مع الكثافة العالية للمشاهدات . تعرف كالتالي :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected [a-zA-Z] but ")" found.in 2:20»): {\displaystyle x_{D}=x_{j}^{u}+\frac{\widehat{f}\left( x_{j}\right) -\widehat{f}... ...t( x_{j+1}\right) }\cdot\left( x_{j} ^{u}-x_{j}^{l}\right) \quad,\text{ where} }

الحد الأدنى / الأعلى لفئة المنوال $x_{j}^{u}$ ,$x_{j}^{l}$

التوزيع التكراري لفئة المنوال ${\widehat {f}}\left(x_{j}\right)$

التوزيع التكراري للفئة السابقة لفئة المنوال ${\widehat {f}}\left(x_{j-1}\right)$

التوزيع التكراري للفئة التالية لفئة المنوال ${\widehat {f}}\left(x_{j+1}\right)$

مثال : عمر 100 مصباح , العمر (الساعات)

$j$	العمر (بالساعات) $X$	$h\left(x_{j}\right)$	$f\left(x_{j}\right)$	${\widehat {f}}\left(x_{j}\right)\cdot 10^{-4}$	$F\left(x_{j}\right)$
$1$	$0\leq X<100$	$1$	$0.01$	$1$	$0.01$
$2$	$100\leq X<500$	$24$	$0.24$	$6$	$0.25$
$3$	$500\leq X<1000$	$45$	$0.45$	$9$	$0.70$
$4$	$1000\leq X<2000$	$30$	$0.30$	$3$	$1.00$
	المجموع	$100$	$1.00$

فئة المنوال : $[500,1000)$

يقرب المنوال بواسطة مركز الفئة لفئة المنوال $0.5\cdot \left(x_{j}^{u}-x_{j}^{l}\right)=750$

باستعمال الصيغة السابقة نحصل على :

$x_{D}=500+{\frac {9-6}{18-6-3}}\cdot 500=666\,2/3$

$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$ ,نفرض البيانات ترتب أو تصنف في ترتيب متزايد للحصول على السلسلة المرتبة $x_{(1)},x_{(2)},\ldots ,x_{(n)}.$ . وندعو عناصر هذه السلسلة بالترتيب الاحصائي للبيانات, نستطيع القراءة فورا من الترتيب الاحصائي القيمة الكبرى الثالثة والقيمة الصغرى وهكذا.

$p$ هو العدد بين الصفر والواحد ويشار الى $p$ كنسبة البيانات . القيمة التي تقسم سلسلة الترتيب الاحصائي لمجموعتين ثانويتين تحتوي الأولى $\left(p\cdot n\right)$ والأخيرة $\left(\left(1-p\right)\cdot n\right)$ مشاهدات أو مايدعى $p$ , سنحدده بواسطة $x_{p}$ . بشكل مكافئ, نعتقد أن $x_{p}$هي القيمة الى$p\%$ للبيانات المتوضعة تحت و $(1-p)\%$ للبيانات المتوضعة فوق.

الربيعات للبيانات غير المبوبة

$n\cdot p$ هو عدد صحيح و $k$ العدد الصحيح الأصغر الكافي $k>n\cdot p$, عندئذ نعرف $x_{p}=x_{(k)}$ , الربيع لهذه المشاهدة مع الرتبة $k$, $x_{(k)}$.

لدينا $k=n\cdot p$ عدد صحيح , سنأخذ $x_{p{\text{ }}}$ ليكون مركز النقطة بين $x_{(k)}$ و $x_{(k+1)}$

الربيعات للبيانات المبوبة

للبيانات المبوبة في فئات , سندعم الاستكمال مابين حدود الفئة للحصول على الربيع $p$:

$x_{p}=x_{j}^{l}+{\frac {p-F\left(x_{j}^{l}\right)}{f\left(x_{j}\right)}}\cdot \left(x_{j}^{u}-x_{j}^{l}\right)$

$x_{j}^{l}$, $x_{j}^{u}$و $f\left(x_{j}\right)$, هي الحد الأدنى , الحد الأعلى والتكرار النسبي للفئة المحتواة للربيع $p$,يتضمن التكرار التجميعي النسبي الفئة السابقة لفئة الربيع التي ترمز $F\left(x_{j}^{l}\right)$.

يعرف الربيع $x_{p}$ باستعمال التدرج , مبدأ التدرج للربيع $p=F(x_{p})$ يفهم بسهولة من الرسم البياني التالي :

$p=s/10,s=1,\dots ,9--$ العشرية : $x_{0.1},x_{0.2},\dots ,x_{0.9}$

الربيعات الخماسية - تقسم المشاهدات المرتبة لخمس أجزاء متساوية. $p=r/5,r=1,2,3,4--$ الربيعات: $x_{0.2},x_{0.4},x_{0.6},x_{0.8}$

الربيعات الرباعية - تقسم المشاهدات المرتبة لأربع أجزاء متساوية .$p=q/4,q=1,2,3--$ الربيعات : $x_{0.25},x_{0.5},x_{0.75}$

الوسيط (القيمة المركزية)

تدعى القيمة التي تقسم المشاهدات المرتبة لجزئين متساويين بالوسيط $x_{z}=x_{0.5}$, الوسيط أقل حساسية بكثير لتباعد أو تطرف المشاهدات من القياسات الأخرى كالوسط الحسابي .

يطابق الوسيط $x_{z}$ للربيع الثاني $x_{0.5}$

(1) البيانات غير المبوبة

n فردي : $x_{0.5}=x_{({\frac {n+1}{2}})}$

n زوجي : $x_{0.5}=(x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)})/2.$

المتغيرات المبوبة

الوسيط للبيانات المبوبة هو مركز الفئة التي تحتوي الجزء المركزي للبيانات , $x_{j}^{l}$ و $x_{j}^{u}$ هي الحدود الدنيا و العليا للفئة أي $F(x_{j-1}^{u})=F(x_{j}^{l})\leq 5$

$x_{0.5}=x_{j}^{l}+{\frac {0.5-F(x_{j}^{l})}{f(x_{j})}}\cdot (x_{j}^{u}-x_{j}^{l})$

عندئذ سيحدد الوسيط بسهولة من الرسم البياني لتابع التوزيع $F(x_{0.5})=0.5$ , شاهد الرسوم البيانية التالية :

$\sum \limits _{i=1}^{n}\vert x_{i}-x_{0.5}\vert =\sum \limits _{j=1}^{k}\vert x_{j}-x_{0.5}\vert \cdot f(x_{j})\rightarrow min.$

الوسيط مثالي بمعنى يقلل مجموع الانحرافات المطلقة للمشاهدات عن النقطة التي تتوضع في وسط البيانات.

التحويل الخطي : $y_{i}=a+bx_{i}\longrightarrow y_{0.5}=a+bx_{0.5}$

اذا البيانات محولة خطيا, عندئذ يحول الوسيط بنفس التحويل الخطي .

مثال :

الدخل الصافي الشهري للأسر1998 , (حتى 25000 مارك ألماني ):

مجال الدخل	نسبة الأسر	تابع التوزيع التجريبي
(DM)	$f(x)$	$F(x)$
1-800	0.044	0.044
800-1400	0.166	0.210
1400-3000	0.471	0.681
3000-5000	0.243	0.924
5000-25000	0.076	1.000

الشكل البياني لتابع التوزيع التجريبي :

$x_{0.25},\ p=0.25$ , والربيع الثاني $x_{0.5},\ p=0.50$, الذي يخص الفئة الثالثة (3000-5000 DM) نجد بالحساب التالي:

$\mathbf {x_{0.25}=1400+1600\cdot {\frac {0.25-0.21}{0.471}}=1535.88DM}$

$\mathbf {x_{0.50}=1400+1600\cdot {\frac {0.50-0.21}{0.471}}=2385.14DM}$

$\mathbf {x_{0.75}=3000+2000\cdot {\frac {0.75-0.681}{0.243}}=3567.90DM}$

التفسير :

الربيع الأول: 25 % من الأسر لها دخل شهري صافي لايتجاوز 1535.88 DM و 75% من الأسر لها دخل أعلى من 1535.88 DM مارك ألماني .

الربيع الثاني- الوسيط : 50% من الأسر لها دخل أصغر من 2385.14 DM و 50% من الأسر لها دخل أعلى من 2385.14 DM

الربيع الثالث : 75% من الأسر لها دخل أقل من 3567.90 DM و 25 % من الأسر لها دخل يتجاوز 3567.90 DM نشير للأعلى بأن 50% من الأسر لها دخل صافي ما بين 1535.88 DM و 3567.90 DM

${\bar {X}}$

نحصل على الوسط الحسابي أو المتوسط بمجموع كل المشاهدات و تقسيمها على $n$ , الوسط الحسابي حساس للقيم المتطرفة . عمليا , تميل القيمة المتطرفة لسحب الوسط الحسابي في اتجاهها .

يحسب الوسط الحسابي بطرق متنوعة: باستعمال البيانات الأصلية , باستعمال التوزيع التكراري وباستعمال التوزيع التكراري النسبي .

الحساب باستعمال البيانات الأصلية :

$\mathbf {{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}$ خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \bigskipin 1:17»): {\displaystyle \bigskip}

الحساب باستعمال التوزيع التكراري والتكراري النسبي :

$\mathbf {{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{j=1}^{k}x_{j}h(x_{j})=\sum \limits _{j=1}^{k}x_{j}f(x_{j})}$

خواص الوسط الحسابي  :

الخاصة الصفرية : مجموع انحرافات البيانات عن الوسط الحسابي يساوي الصفر.

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \newlinein 2:18»): {\displaystyle \mathbf{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar{x})=0\newline \sum\limits_{j=1}^{k}(x_{j}-\bar{x})h(x_{j})=0}}

مجموع المربعات الأقل : مجموع مربعات انحرافات البيانات عن الوسط الحسابي أصغر من مجموع مربعات الانحرافات عن أي نقطة أخرى c .

$\mathbf {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}<\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-c)^{2}}$

$\mathbf {\sum \limits _{j=1}^{k}(x_{j}-{\bar {x}})^{2}h(x_{j})<\mathbf {\sum \limits _{j=1}^{k}} (x_{j}-c)^{2}h(x_{j})}$

البيانات المثقلة: نفرض البيانات المشاهدة تكون في المجموعات المنفصلة $D_{1},D_{2},\dots ,D_{r}$, عندئذ الوسط الحسابي ${\bar {x}}_{p}$ لكل من المجموعات معروف , عندئذ الوسط الحسابي لكل القيم المشاهدة (نعتبرها كمجموعة واحدة ) سيحسب باستعمال الصيغة:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{p=1}^{r}{\bar {x}}_{p}n_{p}\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;n=\sum \limits _{p=1}^{r}n_{p}$

حيث $n_{p}$ تشير لعدد المشاهدات في المجموعة $p$ ($p=1,\dots ,r$)

التحويل الخطي :

$y_{i}=a+bx_{i}\longrightarrow {\bar {y}}=a+b{\bar {x}}$

المجموع

$z_{i}=x_{i}+y_{i}\longrightarrow {\bar {z}}={\bar {x}}+{\bar {y}}$

مثال 1 :

الدخل الشهري للأسر في 1998 :

مجال الدخل DM	نسبة الأسر( f(x	(F(x
1-800	0.044	0.044
800-1400	0.166	0.210
1400-3000	0.471	0.681
3000-5000	0.243	0.924
5000-25000	0.076	1.000

حساب الوسط الحسابي باستعمال مراكز الفئات :

${\bar {x}}=400\cdot 0.044+1100\cdot 0.166+2200\cdot 0.471+4000\cdot 0.243+15000\cdot 0.076=17.6+182.6+1036.2+972+1140=3348.4$DM

الوسط الحسابي 3348.4 DM أعلى من الوسيط المحسوب(2385.14 DM) . يوضح ذلك بـأن الوسط الحسابي أكثر حساسية للعدد الصغير نسبيا من الدخول العالية. تغير القيم العالية الوسط الحسابي , ولكنها لاتؤثر على الوسيط .

مثال 2 : الدخل الشهري 716 شخص .

$x_{0.25}$ = 1092.50 DM

$x_{0.50}$=1800 DM

$x_{0.75}$ = DM 2400

المنوال = 2000 DM