الفرق بين المراجعتين لصفحة: «الوصف العددي للتوزيعات التكرارية أحادية البعد»
من MM*Stat Arabisch
(Die Seite wurde neu angelegt: „المحتويات ,الوصف العددي للتوزيعات التكرارية أحادية البعد , مثال لعرض التوزيعات ال…“) |
لا ملخص تعديل |
||
سطر ١: | سطر ١: | ||
<math> \underset{x_{j}}{\arg\max}\;\;f\left( x_{j}\right) \} | |||
</math> | |||
سطر ٣٩: | سطر ١٣: | ||
<math> x_{D}=x_{j}^{u}+\frac{\widehat{f}\left( x_{j}\right) -\widehat{f}... | |||
...t( x_{j+1}\right) }\cdot\left( x_{j} | |||
^{u}-x_{j}^{l}\right) \quad,\text{ where} | |||
</math> | |||
الحد الأدنى / الأعلى لفئة المنوال | الحد الأدنى / الأعلى لفئة المنوال <math> x_{j}^{u}</math> ,<math> x_{j}^{l}</math> | ||
التوزيع التكراري لفئة المنوال | التوزيع التكراري لفئة المنوال <math> \widehat{f}\left( x_{j}\right) </math> | ||
التوزيع التكراري للفئة السابقة لفئة المنوال | التوزيع التكراري للفئة السابقة لفئة المنوال <math> \widehat{f}\left( x_{j-1}\right) </math> | ||
التوزيع التكراري للفئة التالية لفئة المنوال | التوزيع التكراري للفئة التالية لفئة المنوال <math> \widehat{f}\left( x_{j+1}\right) </math> | ||
سطر ٦١: | سطر ٣٨: | ||
{| Border ="1" | {| Border ="1" | ||
| | |<math> j</math> | ||
| العمر (بالساعات) | | العمر (بالساعات) <math> X</math> | ||
| | |<math> h\left( x_{j}\right) </math> | ||
| | |<math> f\left( x_{j}\right) </math> | ||
| | |<math> \widehat{f}\left( x_{j}\right) \cdot10^{-4}</math> | ||
| | |<math> F\left( x_{j}\right) | ||
</math> | |||
|- | |- | ||
| | |<math> 1</math> | ||
| | |<math> 0\leq X<100</math> | ||
| | |<math> 1</math> | ||
| | |<math> 0.01</math> | ||
| | |<math> 1</math> | ||
| | |<math> 0.01</math> | ||
|- | |- | ||
| | |<math> 2</math> | ||
| | |<math> 100\leq X<500</math> | ||
| | |<math> 24</math> | ||
| | |<math> 0.24</math> | ||
| | |<math> 6</math> | ||
| | |<math> 0.25</math> | ||
|- | |- | ||
| | |<math> 3</math> | ||
| | |<math> 500\leq X<1000</math> | ||
| | |<math> 45</math> | ||
| | |<math> 0.45</math> | ||
| | |<math> 9</math> | ||
| | |<math> 0.70</math> | ||
|- | |- | ||
| | |<math> 4</math> | ||
| | |<math> 1000\leq X<2000</math> | ||
| | |<math> 30</math> | ||
| | |<math> 0.30</math> | ||
| | |<math> 3</math> | ||
| | |<math> 1.00</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
|المجموع | |المجموع | ||
| | |<math> 100</math> | ||
| | |<math> 1.00</math> | ||
| | | | ||
| | | | ||
سطر ١٠٩: | سطر ٨٧: | ||
فئة المنوال : [ | فئة المنوال : <math> [500,1000)</math> | ||
يقرب المنوال بواسطة مركز الفئة لفئة المنوال | يقرب المنوال بواسطة مركز الفئة لفئة المنوال <math> 0.5\cdot\left( x_{j}^{u}-x_{j}^{l}\right) =750</math> | ||
سطر ١١٨: | سطر ٩٦: | ||
باستعمال الصيغة السابقة نحصل على : | باستعمال الصيغة السابقة نحصل على : | ||
<math> x_{D}=500+\frac{9-6}{18-6-3}\cdot500=666\,2/3</math> | |||
<math> x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},</math> ,نفرض البيانات ترتب أو تصنف في ترتيب متزايد للحصول على السلسلة المرتبة <math> x_{(1)},x_{(2)} | |||
,\ldots,x_{(n)}.</math> . وندعو عناصر هذه السلسلة بالترتيب الاحصائي للبيانات, نستطيع القراءة فورا من الترتيب الاحصائي القيمة الكبرى الثالثة والقيمة الصغرى وهكذا. | |||
<math> p</math> هو العدد بين الصفر والواحد ويشار الى <math> p</math> كنسبة البيانات . القيمة التي تقسم سلسلة الترتيب الاحصائي لمجموعتين ثانويتين تحتوي الأولى <math> \left( p\cdot n\right) </math> والأخيرة <math> \left( \left( 1-p\right) \cdot n\right) </math> مشاهدات أو مايدعى <math> p</math> , سنحدده بواسطة <math> x_{p}</math> . بشكل مكافئ, نعتقد أن <math> x_{p}</math>هي القيمة الى<math> p\%</math> للبيانات المتوضعة تحت و <math> (1-p)\%</math> للبيانات المتوضعة فوق. | |||
سطر ١٣٣: | سطر ١٠٩: | ||
الربيعات للبيانات غير المبوبة | الربيعات للبيانات غير المبوبة | ||
<math> n\cdot p</math> هو عدد صحيح و <math> k</math> العدد الصحيح الأصغر الكافي <math> k>n\cdot p</math>, عندئذ نعرف <math> x_{p}=x_{(k)}</math> , الربيع لهذه المشاهدة مع الرتبة <math> k</math>, <math> x_{(k)}</math>. | |||
لدينا | لدينا <math> k=n\cdot p</math> عدد صحيح , سنأخذ <math> x_{p\text{ }}</math> ليكون مركز النقطة بين <math> x_{(k)}</math> و <math> x_{(k+1)}</math> | ||
سطر ١٤٢: | سطر ١١٨: | ||
الربيعات للبيانات المبوبة | الربيعات للبيانات المبوبة | ||
للبيانات المبوبة في فئات , سندعم الاستكمال مابين حدود الفئة للحصول على الربيع | للبيانات المبوبة في فئات , سندعم الاستكمال مابين حدود الفئة للحصول على الربيع <math> p</math>: | ||
<math> x_{p}=x_{j}^{l}+\frac{p-F\left( x_{j}^{l}\right) }{f\left( x_{j}\right) | |||
}\cdot\left( x_{j}^{u}-x_{j}^{l}\right) | |||
</math> | |||
<math> x_{j}^{l}</math>, <math> x_{j}^{u}</math>و <math> f\left( x_{j}\right) </math>, هي الحد الأدنى , الحد الأعلى والتكرار النسبي للفئة المحتواة للربيع <math> p</math>,يتضمن التكرار التجميعي النسبي الفئة السابقة لفئة الربيع التي ترمز <math> F\left( x_{j}^{l}\right) </math>. | |||
يعرف الربيع | يعرف الربيع <math> x_{p}</math> باستعمال التدرج , مبدأ التدرج للربيع <math> p = F(x_{p})</math> يفهم بسهولة من الرسم البياني التالي : | ||
<math> p=s/10,s=1,\dots,9--</math> العشرية : <math> x_{0.1},x_{0.2} | |||
,\dots,x_{0.9}</math> | |||
'''الربيعات الخماسية ''' - تقسم المشاهدات المرتبة لخمس أجزاء متساوية. <math> p=r/5,r=1,2,3,4--</math> الربيعات: <math> x_{0.2},x_{0.4} | |||
,x_{0.6},x_{0.8}</math> | |||
'''الربيعات الرباعية '''- تقسم المشاهدات المرتبة لأربع أجزاء متساوية .<math> p=q/4,q=1,2,3--</math> الربيعات : <math> x_{0.25},x_{0.5},x_{0.75}</math> | |||
'''الربيعات الرباعية '''- تقسم المشاهدات المرتبة لأربع أجزاء متساوية . | |||
سطر ١٧٥: | سطر ١٤٥: | ||
'''الوسيط (القيمة المركزية)''' | '''الوسيط (القيمة المركزية)''' | ||
تدعى القيمة التي تقسم المشاهدات المرتبة لجزئين متساويين ''' بالوسيط''' | تدعى القيمة التي تقسم المشاهدات المرتبة لجزئين متساويين ''' بالوسيط''' <math> x_{z}=x_{0.5}</math>, | ||
الوسيط أقل حساسية بكثير لتباعد أو تطرف المشاهدات من القياسات الأخرى كالوسط الحسابي . | الوسيط أقل حساسية بكثير لتباعد أو تطرف المشاهدات من القياسات الأخرى كالوسط الحسابي . | ||
يطابق الوسيط | يطابق الوسيط <math> x_{z}</math> للربيع الثاني <math> x_{0.5}</math> | ||
سطر ١٨٤: | سطر ١٥٤: | ||
'''n ''' فردي : | '''n ''' فردي : | ||
<math> x_{0.5} = x_{(\frac{n+1}{2})}</math> | |||
'''n '''زوجي : | '''n '''زوجي : <math> x_{0.5}=(x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)})/2.</math> | ||
سطر ١٩٣: | سطر ١٦٣: | ||
الوسيط للبيانات المبوبة هو مركز الفئة التي تحتوي الجزء المركزي للبيانات , | الوسيط للبيانات المبوبة هو مركز الفئة التي تحتوي الجزء المركزي للبيانات , <math> x_{j}^{l}</math> و <math> x_{j}^{u}</math> | ||
هي الحدود الدنيا و العليا للفئة أي | هي الحدود الدنيا و العليا للفئة أي <math> F(x_{j-1}^{u})=F(x_{j}^{l})\leq5</math> | ||
<math> x_{0.5}=x_{j}^{l}+\frac{0.5-F(x_{j}^{l})}{f(x_{j})}\cdot(x_{j}^{u}-x_{j}^{l}) | |||
</math> | |||
عندئذ سيحدد الوسيط بسهولة من الرسم البياني لتابع التوزيع | عندئذ سيحدد الوسيط بسهولة من الرسم البياني لتابع التوزيع <math> F(x_{0.5})=0.5</math> | ||
, شاهد الرسوم البيانية التالية : | , شاهد الرسوم البيانية التالية : | ||
<math> \sum\limits_{i=1}^{n}\vert x_{i}-x_{0.5}\vert=\sum\limits_{j=1}^{k}\vert x_{j}-x_{0.5}\vert\cdot | |||
f(x_{j})\rightarrow min. | |||
</math> | |||
سطر ٢٢٧: | سطر ١٨٤: | ||
التحويل الخطي : | التحويل الخطي : <math> y_{i}=a+bx_{i}\longrightarrow y_{0.5} | ||
=a+bx_{0.5}</math> | |||
سطر ٢٤٨: | سطر ٢٠٦: | ||
|- | |- | ||
|'''(DM) ''' | |'''(DM) ''' | ||
| | |<math> f(x)</math> | ||
| | |<math> F(x)</math> | ||
|- | |- | ||
|1-800 | |1-800 | ||
سطر ٢٧٩: | سطر ٢٣٧: | ||
<math> x_{0.25},\ p=0.25</math> , والربيع الثاني <math> x_{0.5},\ p=0.50</math>, الذي يخص الفئة الثالثة (3000-5000 DM) نجد بالحساب التالي: | |||
<math> \mathbf{x_{0.25} = 1400 + 1600 \cdot\frac{0.25 - 0.21}{0.471} = 1535.88 DM } | |||
</math> | |||
<math> \mathbf{x_{0.50} = 1400 + 1600 \cdot\frac{0.50 - 0.21}{0.471} = 2385.14 DM } | |||
</math> | |||
<math> \mathbf{x_{0.75} = 3000 + 2000 \cdot\frac{0.75 - 0.681}{0.243} = 3567.90 DM } | |||
</math> | |||
سطر ٣١٠: | سطر ٢٦٥: | ||
<math> \bar X</math> | |||
نحصل على '''الوسط الحسابي''' أو المتوسط بمجموع كل المشاهدات و تقسيمها على <math> n</math> , الوسط الحسابي حساس للقيم المتطرفة . | |||
نحصل على '''الوسط الحسابي''' أو المتوسط بمجموع كل المشاهدات و تقسيمها على | |||
عمليا , تميل القيمة المتطرفة لسحب الوسط الحسابي في اتجاهها . | عمليا , تميل القيمة المتطرفة لسحب الوسط الحسابي في اتجاهها . | ||
سطر ٣٢٥: | سطر ٢٧٧: | ||
<math> \mathbf{\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}}</math> <math> \bigskip</math> | |||
سطر ٣٣١: | سطر ٢٨٣: | ||
<math> \mathbf{\bar{x} = \frac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{k} x_{j} h(x_{j}) = | |||
\sum\limits_{j=1}^{k} x_{j} f(x_{j})}</math> | |||
سطر ٣٤٢: | سطر ٢٩٥: | ||
<math> \mathbf{\sum\limits_{i=1}^{n} | |||
(x_{i}-\bar{x})=0\newline \sum\limits_{j=1}^{k}(x_{j}-\bar{x})h(x_{j})=0}</math> | |||
سطر ٣٤٨: | سطر ٣٠٢: | ||
<math> \mathbf{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar | |||
{x})^{2}<\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-c)^{2}}</math> | |||
<math> \mathbf{{\sum | |||
\limits_{j=1}^{k}(x_{j}-\bar{x})^{2}h(x_{j})<\mathbf{\sum\limits_{j=1}^{k} | |||
}(x_{j}-c)^{2}h(x_{j})}}</math> | |||
البيانات المثقلة: نفرض البيانات المشاهدة تكون في المجموعات المنفصلة | البيانات المثقلة: نفرض البيانات المشاهدة تكون في المجموعات المنفصلة <math> D_{1},D_{2},\dots,D_{r}</math>, عندئذ الوسط الحسابي <math> \bar{x}_{p}</math> لكل من المجموعات معروف , عندئذ الوسط الحسابي '''لكل''' القيم المشاهدة (نعتبرها كمجموعة واحدة ) سيحسب باستعمال الصيغة: | ||
<math> \bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{p=1}^{r}\bar{x}_{p}n_{p} | |||
\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;n=\sum\limits_{p=1}^{r}n_{p} | |||
</math> | |||
حيث | حيث <math> n_{p}</math> تشير لعدد المشاهدات في المجموعة <math> p</math> (<math> p=1,\dots,r</math>) | ||
التحويل الخطي : | التحويل الخطي : | ||
<math> y_{i}=a+bx_{i}\longrightarrow\bar{y}=a+b\bar{x} | |||
</math> | |||
سطر ٣٧٣: | سطر ٣٣٣: | ||
<math> z_{i} = x_{i} + y_{i} \longrightarrow\bar{z} = \bar{x} + \bar{y} | |||
</math> | |||
سطر ٤١٥: | سطر ٣٧٦: | ||
<math> \bar{x}=400\cdot0.044+1100\cdot0.166+2200\cdot0.471+4000\cdot0.243+15000\cdot | |||
0.076=17.6+182.6+1036.2+972+1140=3348.4</math>DM | |||
سطر ٤٢٤: | سطر ٣٨٦: | ||
'''مثال 2 : '''الدخل الشهري 716 شخص . | '''مثال 2 : '''الدخل الشهري 716 شخص . | ||
<math> x_{0.25}</math> = 1092.50 DM | |||
<math> x_{0.50}</math>=1800 DM | |||
<math> x_{0.75}</math> = DM 2400 | |||
المنوال = 2000 DM | المنوال = 2000 DM |
مراجعة ١٦:٣٩، ٣١ يوليو ٢٠٢٠
المنوال للبيانات المستمرة المبوبة
فئة المنوال هي الفئة ذات التكرار الأكبر , كما يتألف مجال الفئة من العديد من الأعداد غير المنتهية, نقدم الاصطلاح البسيط , الاصطلاح البسيط هو استعمال مركز الفئة لفئة المنوال.
تتضمن تسوية تقنية بديلة لاختيار النقطة التي تتحرك نحو الخلية المجاورة مع الكثافة العالية للمشاهدات .
تعرف كالتالي :
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected [a-zA-Z] but ")" found.in 2:20»): {\displaystyle x_{D}=x_{j}^{u}+\frac{\widehat{f}\left( x_{j}\right) -\widehat{f}... ...t( x_{j+1}\right) }\cdot\left( x_{j} ^{u}-x_{j}^{l}\right) \quad,\text{ where} }
الحد الأدنى / الأعلى لفئة المنوال ,
التوزيع التكراري لفئة المنوال
التوزيع التكراري للفئة السابقة لفئة المنوال
التوزيع التكراري للفئة التالية لفئة المنوال
مثال : عمر 100 مصباح , العمر (الساعات)
العمر (بالساعات) | |||||
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:24»): {\displaystyle 0\leq X<100} | |||||
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:26»): {\displaystyle 100\leq X<500} | |||||
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:26»): {\displaystyle 500\leq X<1000} | |||||
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:27»): {\displaystyle 1000\leq X<2000} | |||||
المجموع |
|
فئة المنوال :
يقرب المنوال بواسطة مركز الفئة لفئة المنوال
باستعمال الصيغة السابقة نحصل على :
,نفرض البيانات ترتب أو تصنف في ترتيب متزايد للحصول على السلسلة المرتبة . وندعو عناصر هذه السلسلة بالترتيب الاحصائي للبيانات, نستطيع القراءة فورا من الترتيب الاحصائي القيمة الكبرى الثالثة والقيمة الصغرى وهكذا.
هو العدد بين الصفر والواحد ويشار الى كنسبة البيانات . القيمة التي تقسم سلسلة الترتيب الاحصائي لمجموعتين ثانويتين تحتوي الأولى والأخيرة مشاهدات أو مايدعى , سنحدده بواسطة . بشكل مكافئ, نعتقد أن هي القيمة الى للبيانات المتوضعة تحت و للبيانات المتوضعة فوق.
الربيعات للبيانات غير المبوبة
هو عدد صحيح و العدد الصحيح الأصغر الكافي خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 1:18»): {\displaystyle k>n\cdot p} , عندئذ نعرف , الربيع لهذه المشاهدة مع الرتبة , .
لدينا عدد صحيح , سنأخذ ليكون مركز النقطة بين و
الربيعات للبيانات المبوبة
للبيانات المبوبة في فئات , سندعم الاستكمال مابين حدود الفئة للحصول على الربيع :
, و , هي الحد الأدنى , الحد الأعلى والتكرار النسبي للفئة المحتواة للربيع ,يتضمن التكرار التجميعي النسبي الفئة السابقة لفئة الربيع التي ترمز .
يعرف الربيع باستعمال التدرج , مبدأ التدرج للربيع يفهم بسهولة من الرسم البياني التالي :
العشرية :
الربيعات الخماسية - تقسم المشاهدات المرتبة لخمس أجزاء متساوية. الربيعات:
الربيعات الرباعية - تقسم المشاهدات المرتبة لأربع أجزاء متساوية . الربيعات :
الوسيط (القيمة المركزية)
تدعى القيمة التي تقسم المشاهدات المرتبة لجزئين متساويين بالوسيط , الوسيط أقل حساسية بكثير لتباعد أو تطرف المشاهدات من القياسات الأخرى كالوسط الحسابي .
يطابق الوسيط للربيع الثاني
(1) البيانات غير المبوبة
n فردي :
n زوجي :
المتغيرات المبوبة
الوسيط للبيانات المبوبة هو مركز الفئة التي تحتوي الجزء المركزي للبيانات , و
هي الحدود الدنيا و العليا للفئة أي
عندئذ سيحدد الوسيط بسهولة من الرسم البياني لتابع التوزيع
, شاهد الرسوم البيانية التالية :
الوسيط مثالي بمعنى يقلل مجموع الانحرافات المطلقة للمشاهدات عن النقطة التي تتوضع في وسط البيانات.
التحويل الخطي :
اذا البيانات محولة خطيا, عندئذ يحول الوسيط بنفس التحويل الخطي .
مثال :
الدخل الصافي الشهري للأسر1998 , (حتى 25000 مارك ألماني ):
مجال الدخل | نسبة الأسر | تابع التوزيع التجريبي |
(DM) | ||
1-800 | 0.044 | 0.044 |
800-1400 | 0.166 | 0.210 |
1400-3000 | 0.471 | 0.681 |
3000-5000 | 0.243 | 0.924 |
5000-25000 | 0.076 | 1.000 |
الشكل البياني لتابع التوزيع التجريبي :
, والربيع الثاني , الذي يخص الفئة الثالثة (3000-5000 DM) نجد بالحساب التالي:
التفسير :
الربيع الأول: 25 % من الأسر لها دخل شهري صافي لايتجاوز 1535.88 DM و 75% من الأسر لها دخل أعلى من 1535.88 DM مارك ألماني .
الربيع الثاني- الوسيط : 50% من الأسر لها دخل أصغر من 2385.14 DM و 50% من الأسر لها دخل أعلى من 2385.14 DM
الربيع الثالث : 75% من الأسر لها دخل أقل من 3567.90 DM و 25 % من الأسر لها دخل يتجاوز 3567.90 DM
نشير للأعلى بأن 50% من الأسر لها دخل صافي ما بين 1535.88 DM و 3567.90 DM
نحصل على الوسط الحسابي أو المتوسط بمجموع كل المشاهدات و تقسيمها على , الوسط الحسابي حساس للقيم المتطرفة .
عمليا , تميل القيمة المتطرفة لسحب الوسط الحسابي في اتجاهها .
يحسب الوسط الحسابي بطرق متنوعة: باستعمال البيانات الأصلية , باستعمال التوزيع التكراري وباستعمال التوزيع التكراري النسبي .
الحساب باستعمال البيانات الأصلية :
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function
Found \bigskipin 1:17»): {\displaystyle \bigskip}
الحساب باستعمال التوزيع التكراري والتكراري النسبي :
خواص الوسط الحسابي :
الخاصة الصفرية : مجموع انحرافات البيانات عن الوسط الحسابي يساوي الصفر.
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function
Found \newlinein 2:18»): {\displaystyle \mathbf{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i}-\bar{x})=0\newline \sum\limits_{j=1}^{k}(x_{j}-\bar{x})h(x_{j})=0}}
مجموع المربعات الأقل : مجموع مربعات انحرافات البيانات عن الوسط الحسابي أصغر من مجموع مربعات الانحرافات عن أي نقطة أخرى c .
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 2:9»): {\displaystyle \mathbf{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar {x})^{2}<\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-c)^{2}}}
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "&" found.in 2:45»): {\displaystyle \mathbf{{\sum \limits_{j=1}^{k}(x_{j}-\bar{x})^{2}h(x_{j})<\mathbf{\sum\limits_{j=1}^{k} }(x_{j}-c)^{2}h(x_{j})}}}
البيانات المثقلة: نفرض البيانات المشاهدة تكون في المجموعات المنفصلة , عندئذ الوسط الحسابي لكل من المجموعات معروف , عندئذ الوسط الحسابي لكل القيم المشاهدة (نعتبرها كمجموعة واحدة ) سيحسب باستعمال الصيغة:
حيث تشير لعدد المشاهدات في المجموعة ()
التحويل الخطي :
المجموع
مثال 1 :
الدخل الشهري للأسر في 1998 :
مجال الدخل DM | نسبة الأسر( f(x | (F(x |
1-800 | 0.044 | 0.044 |
800-1400 | 0.166 | 0.210 |
1400-3000 | 0.471 | 0.681 |
3000-5000 | 0.243 | 0.924 |
5000-25000 | 0.076 | 1.000 |
حساب الوسط الحسابي باستعمال مراكز الفئات :
DM
الوسط الحسابي 3348.4 DM أعلى من الوسيط المحسوب(2385.14 DM) . يوضح ذلك بـأن الوسط الحسابي أكثر حساسية للعدد الصغير نسبيا من الدخول العالية.
تغير القيم العالية الوسط الحسابي , ولكنها لاتؤثر على الوسيط .
مثال 2 : الدخل الشهري 716 شخص .
= 1092.50 DM
=1800 DM
= DM 2400
المنوال = 2000 DM