B{\displaystyle B} سيكتب ثانية كاجتماع للمجموعتين المنفصلتين A∩B{\displaystyle A\cap B} و A¯∩B{\displaystyle {\bar {A}}\cap B} كالتالي :
B=(A∩B)∪(A¯∩B){\displaystyle B=(A\cap B)\cup ({\bar {A}}\cap B)}
كما هو موضح في مخطط فان بالأسفل:
P(B){\displaystyle P(B)} وفقا للقاعدة 3 ,
P(B)=P[(A∩B)∪(A¯∩B)]=P(A∩B)+P(A¯∩B){\displaystyle P(B)=P[(A\cap B)\cup ({\bar {A}}\cap B)]=P(A\cap B)+P({\bar {A}}\cap B)}
التي تتضمن
P(A¯∩B)=P(B)−P(A∩B){\displaystyle P({\bar {A}}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)}
2 – نعيد كتابة الحادث A∪B{\displaystyle A\cup B} A{\displaystyle A} و A¯∩B{\displaystyle {\bar {A}}\cap B} كالتالي
A∪B=A∪(A¯∩B){\displaystyle A\cup B=A\cup ({\bar {A}}\cap B)}
P(A∪B){\displaystyle P(A\cup B)} من القاعدة 3:
P(A∪B)=P[A∪(A¯∩B)]=P(A)+P(A¯∩B){\displaystyle P(A\cup B)=P[A\cup ({\bar {A}}\cap B)]=P(A)+P({\bar {A}}\cap B)}
نحصل الأن على النتيجة المطلوبة بحساب P(A¯∩B){\displaystyle P({\bar {A}}\cap B)} باستعمال الصيغة المعطاة في الجزء الأول :
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).} .