المعلومات الاضافية لتباين العينة

المعلومات الاضافية لتباين العينة

$\mu$ معلوم

نعتبر الفرض البسيط: $\mu \,$ معلومة, دعنا نحسن $S^{*2}\,$ كالتالي :

$S^{*2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}$

اشتقاق القيمة المتوقعة الى $S^{*2}\,$:

$=E\left[{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}\right]={\frac {1}{n}}E\left[\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}\right]$	$E(S^{*2})\,$
	$={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}E[(X_{i}-\mu )^{2}]\ ={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma ^{2}={\frac {1}{n}}n\sigma ^{2}$
	$=\sigma ^{2}$

نلاحظ أن المناقشة أعلاه لا تفترض التوزيع الى $X_{i}\,$, نفرض فقط أنها توابع مستقلة مع التباين العام: $Var(X_{i})=E[(X_{i}-\mu )^{2}]=\sigma ^{2}\,$

اشتقاق تباين $S^{*2}\,$ : نفرض في هذه الحالة مستقلة

ذكرنا سابقا أن تباين المتغير العشوائي الموزع بتوزيع كاي مربع مع $n\,$ درجة الحرية له المتوسط $n\,$ والتباين $2n\,$

حيث له توزيع كاي مربع مع درجة الحرية $n\,$ ينتج أن:

$Var\left({\frac {nS^{*2}}{\sigma ^{2}}}\right)={\frac {n^{2}}{\sigma ^{2}}}Var(S^{*2})=2n$

ولذلك

$Var(S^{*2})={\frac {2\sigma ^{4}}{n}}$

$\mu$ مجهول :

حيث $\mu \,$ غير معلوم, يعطى التقدير العادي للتباين بواسطة:

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {x}})^{2}$

اشتقاق توقع $S^{2}$ , نتذكر ثانية أن تباين المتغير العشوائي سيكتب كالتالي:

يعني هذا :

$E(X^{2})=Var(X)+[E(X)]^{2}\,$

بتطبيق هذه النتيجة لدينا الى $X_{i}\,$ و${\bar {x}}$ ما يلي :

$=Var(X_{i})+[E(X_{i})]^{2}=\sigma ^{2}+\mu ^{2}\,$	$E(X_{i}^{2})$
$=Var({\bar {x}})+[E({\bar {x}})]^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\mu ^{2}$	$E({\bar {x}}^{2})$

اضافة لذلك

$=E\left[\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-2{\bar {x}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}+n{\bar {x}}^{2}\right]=E\left[\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-2n{\bar {x}}^{2}+n{\bar {x}}^{2}\right]$	$E\left[\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {x}})^{2}\right]$
	$=E\left[\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {x}}^{2}\right]=E\left[\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}\right]-E\left[n{\bar {x}}^{2}\right]$
	$=\sum \limits _{i=1}^{n}E(X_{i}^{2})-nE({\bar {x}}^{2})=\sum \limits _{i=1}^{n}(\sigma ^{2}+\mu ^{2})-n({\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\mu ^{2})$
	$=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}-\sigma ^{2}-n\mu ^{2}\,$
	$=(n-1)\sigma ^{2}\,$

لذلك سيعطى توقع تباين العينة $S^{2}\,$ من خلال:

$E(S^{2})=E\left[{\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {x}})^{2}\right]={\frac {1}{n-1}}E\left[\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {x}})^{2}\right]={\frac {1}{n-1}}(n-1)\sigma ^{2}=\sigma ^{2}$

اشتقاق تباين $S^{2}\,$: في هذه الحالة له توزيع كاي مربع مع $f=n-1$ درجة الحرية ينتج أن:

$Var\left({\frac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)={\frac {(n-1)^{2}}{\sigma ^{4}}}Var(s^{2})=2(n-1)$

ولذلك

$Var(s^{2})={\frac {2\sigma ^{4}}{(n-1)}}$

$\mu$ مجهول  :

في هذه الحالة نستعمل لتقدير التباين

نلاحظ أن

حينئذ

و

نلاحظ توقع لا يساوي بالضبط تباين المجتمع $\sigma ^{2}\,$ وذلك بسبب استخدام تباين العينة $S^{2}\,$ عموما في التطبيقات العملية.