|
|
سطر ١: |
سطر ١: |
| [[صورة:H207.gif]] ''' المعلومات الاضافية لتباين العينة'''
| | <math> X_{i}</math> مستقلة <math> N(\mu,\sigma^{2})</math> |
| | |
| | |
| '''<math>\mu</math> معلوم'''
| |
| | |
| | |
| نعتبر الفرض البسيط: <math>\mu\,</math> معلومة, دعنا نحسن <math>S^{*2}\,</math> كالتالي :
| |
| | |
| | |
| <math>S^{*2}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}</math>
| |
| | |
| | |
| اشتقاق القيمة المتوقعة الى <math>S^{*2}\,</math>:
| |
| | |
| | |
| {|
| |
| |<math>=E\left[\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}\right]=\frac{1}{n}E\left[ \sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}\right]</math>
| |
| |<math>E(S^{*2})\,</math>
| |
| | |
| |-
| |
| |
| |
| |<math>=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}E[(X_{i}-\mu)^{2}]\ =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma^{2}=\frac{1}{n}n\sigma^{2}</math>
| |
| |-
| |
| |
| |
| |<math>=\sigma^{2}</math>
| |
| |}
| |
| | |
| | |
| | |
| | |
| نلاحظ أن المناقشة أعلاه لا تفترض التوزيع الى <math>X_{i}\,</math>, نفرض فقط أنها توابع مستقلة مع التباين العام: <math>Var(X_{i})=E[(X_{i}-\mu)^{2}]=\sigma^{2}\,</math>
| |
|
| |
| اشتقاق تباين <math>S^{*2}\,</math> : نفرض في هذه الحالة [[صورة:Mmengjavaimg1268.gif]] مستقلة [[صورة:Mmengjavaimg2027.gif]]
| |
| | | |
| ذكرنا سابقا أن تباين المتغير العشوائي الموزع بتوزيع كاي مربع مع <math>n\,</math> درجة الحرية له المتوسط <math>n\,</math> والتباين <math>2n\,</math> | | ذكرنا سابقا أن تباين المتغير العشوائي الموزع بتوزيع كاي مربع مع <math>n\,</math> درجة الحرية له المتوسط <math>n\,</math> والتباين <math>2n\,</math> |
|
| |
|
| حيث [[صورة:Mmengjavaimg2029.gif]] | | حيث <math> ns^{\ast2}/\sigma^{2}</math> |
| له توزيع كاي مربع مع درجة الحرية <math>n\,</math> ينتج أن: | | له توزيع كاي مربع مع درجة الحرية <math>n\,</math> ينتج أن: |
|
| |
|
سطر ٦٢: |
سطر ٣٠: |
|
| |
|
|
| |
|
| [[صورة:Mmengjavaimg2035.gif]] [[صورة:Mmengjavaimg1146.gif]] | | <math> =E[(X-E(X))^{2}]=E[X^{2}-2XE(X)+(E(X))^{2}]</math> <math> Var(X)</math> |
|
| |
|
| [[صورة:Mmengjavaimg2036.gif]] | | <math> =E(X^{2})-2E(X)E(X)+[E(X)]^{2}</math> |
|
| |
|
| [[صورة:Mmengjavaimg2037.gif]] | | <math> =E(X^{2})-[E(X)]^{2}</math> |
|
| |
|
|
| |
|
سطر ١٢٠: |
سطر ٨٨: |
|
| |
|
| | | |
| اشتقاق تباين <math>S^{2}\,</math>: في هذه الحالة [[صورة:Mmengjavaimg1981.gif]] له توزيع كاي مربع مع <math>f = n - 1</math> درجة الحرية ينتج أن: | | اشتقاق تباين <math>S^{2}\,</math>: في هذه الحالة <math> (n-1)s^{2}/\sigma^{2}</math> له توزيع كاي مربع مع <math>f = n - 1</math> درجة الحرية ينتج أن: |
|
| |
|
|
| |
|
سطر ١٣٦: |
سطر ١٠٤: |
|
| |
|
|
| |
|
| في هذه الحالة نستعمل [[صورة:Mmengjavaimg1970.gif]] لتقدير التباين | | في هذه الحالة نستعمل <math> MSD</math> لتقدير التباين |
|
| |
|
|
| |
|
|
| |
|
| [[صورة:Mmengjavaimg2052.gif]]
| | <math> MSD=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{x})^{2}\,. |
| | </math> |
|
| |
|
|
| |
|
سطر ١٤٦: |
سطر ١١٥: |
|
| |
|
|
| |
|
| [[صورة:Mmengjavaimg2053.gif]]
| | <math> MSD=\frac{n-1}{n}s^{2}\,. |
| | </math> |
| | | |
|
| |
|
سطر ١٥٢: |
سطر ١٢٢: |
|
| |
|
|
| |
|
| [[صورة:Mmengjavaimg2054.gif]] | | <math> E(MSD)=\frac{n-1}{n}E\left[ s^{2}\right] =\frac{n-1}{n}\sigma^{2}</math> |
|
| |
|
|
| |
|
سطر ١٥٨: |
سطر ١٢٨: |
|
| |
|
|
| |
|
| [[صورة:Mmengjavaimg2055.gif]] | | <math> Var(MSD)=\left( \frac{n-1}{n}\right) ^{2}Var\left[ s^{2}\right] =... |
| | ...\frac{n-1}{n}\right) ^{2}\frac{2\sigma^{4}}{(n-1)}=\frac{n-1}{n^{2}}2\sigma^{4}</math> |
|
| |
|
|
| |
|
| نلاحظ توقع [[صورة:Mmengjavaimg1970.gif]] لا يساوي بالضبط تباين المجتمع <math>\sigma^{2}\,</math> وذلك بسبب استخدام تباين العينة <math>S^{2}\,</math> عموما في التطبيقات العملية. | | نلاحظ توقع <math> MSD</math> لا يساوي بالضبط تباين المجتمع <math>\sigma^{2}\,</math> وذلك بسبب استخدام تباين العينة <math>S^{2}\,</math> عموما في التطبيقات العملية. |
مستقلة
ذكرنا سابقا أن تباين المتغير العشوائي الموزع بتوزيع كاي مربع مع درجة الحرية له المتوسط والتباين
حيث
له توزيع كاي مربع مع درجة الحرية ينتج أن:
ولذلك
مجهول :
حيث غير معلوم, يعطى التقدير العادي للتباين بواسطة:
اشتقاق توقع , نتذكر ثانية أن تباين المتغير العشوائي سيكتب كالتالي:
يعني هذا :
بتطبيق هذه النتيجة لدينا الى و ما يلي :
|
|
|
|
اضافة لذلك
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
لذلك سيعطى توقع تباين العينة من خلال:
اشتقاق تباين : في هذه الحالة له توزيع كاي مربع مع درجة الحرية ينتج أن:
ولذلك
مجهول :
في هذه الحالة نستعمل لتقدير التباين
نلاحظ أن
حينئذ
و
خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Expected [a-zA-Z] but ")" found.in 2:23»): {\displaystyle Var(MSD)=\left( \frac{n-1}{n}\right) ^{2}Var\left[ s^{2}\right] =... ...\frac{n-1}{n}\right) ^{2}\frac{2\sigma^{4}}{(n-1)}=\frac{n-1}{n^{2}}2\sigma^{4}}
نلاحظ توقع لا يساوي بالضبط تباين المجتمع وذلك بسبب استخدام تباين العينة عموما في التطبيقات العملية.