المثال الداعم لتقريب التوزيعات

في بلدة معينة يتضرر منزل واحد من كل 100 منزل كل سنة بسبب عواصف الأمطار, ما هو الاحتمال

تسبب العواصف بالضرر لأربع منازل في السنة اذا تحتوي البلدة على 100 منزل.

لأجل كل منزل توجد نتيجتين ممكنتين فقط "الضرر" و"عدم الضرر". احتمالات هاتين النتيجتين ثابتة:

$p=0.01$ و $1-p=0.99$ .

المتغير العشوائي $X$ = {عدد المنازل المتضررة } له التوزيع الثنائي $B(n,p)=B(100;0,01)$.

نحسب الاحتمال $P(X=4)$:

$P(X=4)=f_{B}(4;\,100;\,0,01)={100 \choose 4}\cdot 0,01^{4}\cdot 0,99^{96}=0,01494$

نستطيع استعمال توزيع بواسون مع العنصر $\lambda =np=1$ لتقريب هذا الاحتمال لأن الشروط كافية للتقريب الجيد:

$F_{PO}(4;\,1)={\frac {1^{4}}{4\,!}}e^{-1}=0,01533$

نرى بأن الاحتمالات $f_{B}(4)$ و $F_{PO}(4)$ قريبة جدا. بشكل عام التقريب أيضا جيد عند نقاط أخرى في التوزيع.

$\,x$	$B(100;\;0,1)$	$\,PO(1)$
0	0,36603	0,36788
1	0,36973	0,36788
2	0,18486	0,18394
3	0,06100	0,06131
4	0,01494	0,01533
5	0,00290	0,00307
6	0,00046	0,00051
7	0,00006	0,00007
8	0,00000	0,00000

بعد العاصفة يوجد 300 منزل متضرر خارج 2000 الاجمالية في المنطقة. ما هو احتمال وجود منزلين متضررين فقط في 10 منازل مختارة عشوائيا .

ثانية, توجد نتيجتين ممكنتين فقط لكل منزل : "الضرر" و"عدم الضرر". لذلك $N=2000$, $M=300$ و $N-M=1700$

الاحتمال $P(X=2)$ مساوي:

$P(X=2)=f_{H}(2)={\frac {{300 \choose 2}\cdot {1700 \choose 8}}{2000 \choose 10}}=0,2766$

لحسن الحظ نستطيع استعمال التوزيع الثنائي مع العناصر $p=M/N=0,15$ لتقريب هذا الاحتمال:

$P(X=2)-f_{B}(2)={10 \choose 2}\cdot 0,15^{2}\cdot 0,85^{8}=0,2759$