المثال الاضافي لعناصر المتغيرات العشوائية الثنائية البعد

المثال الاضافي لعناصر المتغيرات العشوائية الثنائية البعد

يقدم مستشار الاستثمار الموارد المالية لاثنين من الزبائن  : (س) و (ت). يأخذ العائد المتوقع عادة كمقياس للربحية والتباين (أو بشكل مكافئ الانحراف المعياري ),يتعلق قياس الخطر بالعائد المتوقع للشروط الاقتصادية المستقبلية, لفحص قيم هذه الاستثمارات التي تحتوي مستويات مختلفة من الخطر, نحتاج لاعتبار الارتباط بين الأرباح المتوقعة, يقدم مستشار الاستثمار الاحتمالات التالية لأجل ثلاثة سيناريوهات محتملة لطريق الاقتصاد (1- لا تغير, 2- كساد,3 - نمو ) , تقييم العائد المتوقع لأموال الاستثمار للزبونين (س) و(ت) هي:

السيناريو	الاحتمال	العائد المتوقع س(%)	العائد المتوقع ت (%)
1	0.5	3.5	5.0
2	0.3	4.0	1.0-
3	0.2	2.0	7.0

العائد المتوقع لأموال الاستثمار لكلا الزبونين :

$E(T)=5\cdot 0.5-1\cdot 0.3+7\cdot 0.2=3.6\,\%$ $E(S)=3.5\cdot 0.5+4\cdot 0.3+2\cdot 0.2=3.35\,\%$

التباين لأموال الاستثمار :

$Var(S)=(3.5-3.35)^{2}\cdot 0.5+(4-3.35)^{2}\cdot 0.3+(2-3.35)^{2}\cdot 0.2=0.5025\,,\quad \sigma (S)=0.7089\,\%$

$Var(T)=(5-3.6)^{2}\cdot 0.5+(-1-3.6)^{2}\cdot 0.3+(7-3.6)^{2}\cdot 0.2=9.64\,,\quad \sigma (T)=3.1048\,\%$

تغير العائد المتوقع بالاضافة للخطر, أكبر لأموال الاستثمار للزبون (ت).

نحسب الأن التباين المشترك للعوائد المتوقعة لهذه الأموال.

$Cov(S,T)=(3.5-3.35)(5-3.6)\cdot 0.5+(4-3.35)(-1-3.6)\cdot 0.3+(2-3.35)(7-3.6)\cdot 0.2=-1.71$

ونحصل على معامل الارتباط

$\rho (S,T)=-1.71/(0.7089\cdot 3.1048)=-0.7769$

العوائد المتوقعة للأموال المبنية على السيناريو المزود من قبل مستشار الاستثمار مرتبطة بشكل سلبي.

يعتمد العائد المتوقع للأموال على قيم كل من الأموال, باستعمال الأوزان $a$ و $b$ ($a+b=1$), نحصل كالتالي:

$E(Z)=aE(S)+bE(T)$

$Var(Z)=a^{2}Var(S)+b^{2}Var(T)+2abCov(S,T)=a^{2}Var(S)+b^{2}Var(T)+2ab\cdot \sigma (S)\cdot \sigma (T)\cdot \rho (S,T)$

نعرف بأن الخطر المرتبط بكلا أموال الاستثمار, ينقص الخطر اذا أموال الاستثمار مرتبطة بشكل سلبي.

نحسب الأن $E(Z)$ $Var(Z)$ لأجل $a$ و $b$.

$a=b=0.5$

$E(Z)=0.5\cdot 3.35+0.5\cdot 3.6=3.475$

$Var(Z)=0.25\cdot 0.5025+0.25\cdot 9.64-2\cdot 0.5\cdot 0.5\cdot 0.7089\cdot 3.1048\cdot 0.7769=1.6806$

$\sigma (Z)=1.296$

$a=0.8\ b=0.2$

$E(Z)=0.8\cdot 3.35+0.2\cdot 3.6=3.4$

$Var(Z)=0.64\cdot 0.5025+0.04\cdot 9.64-2\cdot 0.8\cdot 0.2\cdot 0.7089\cdot 3.1048\cdot 0.7769=0.16$

$\sigma (Z)=0.4$

الخطر أصغر بكثير اذا استثمرنا 80% من أموال (س) و 20 % من أموال (ت), بدلا من الأوزان المتساوية في كلا أموال الاستثمار, بالاضافة القيمة المتوقعة لهذه الأموال متساوية . خطر هذه الأموال أصغر أيضا من الخطر المشترك للأموال الأكثر أمانا.