اختبار المتوسطات الطبيعية

$\mathbb {N} \left(\mu =0,\,\sigma =1\right)$.

لذلك نعاير ${\bar {X}}$ ونأخذ:

$V={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma }}\;{\sqrt {n}}$

لاختبارنا الاحصائي.

باعطاء $H_{0}$ صحيحة , $V$ له التوزيع الطبيعي المعياري (التقريبي):

$V{\mbox{ }}(H_{0}){\sim }\mathbb {N} \left(0,\;1\right)$

تطابق $\mu _{0}$ هو متوسط المجتمع الحقيقي.

1-الاختبار الثنائي الجانب:

يقع احتمال $V$ في $\mu _{0}$, يتضمن القيم الفعلية السالبة للاختبار الاحصائي $V$, انحرافات $V$ عن $E(V)=0$ للجهة اليسرى للخط الحقيقي.

في هذه الحالة يتألف مجال الرفض لأجل $H_{0}$ من نتائج $V$ السالبة

لذلك خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:17»): {\displaystyle \Prob\left( V<-c\vert\mu _{0}\right) =\alpha .}

باستعمال خاصة التناظر للتوزيع الطبيعي, نستطيع ترجمة خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:17»): {\displaystyle \Prob\left( V<-c\right) } الى خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:19»): {\displaystyle 1-\Prob\left( V<c\right) }

لهذا القيمة المطلقة للقيمة الحرجة $\vert -c\vert =c$ هي قيمة تابع التوزيع الطبيعي التجميعي للاحتمال $1-\alpha$

بمعنى:$c=z_{1-\alpha }$ و $-c=-z_{1-\alpha }$.

يعطى مجال الرفض لأجل $H_{0}$ بواسطة:

$\left\{v|v<-z_{1-\alpha }\right\}$

ويعطى مجال القبول لأجل $H_{0}$ بواسطة:

$\left\{v|v\geq -z_{1-\alpha }\right\}$

احتمال $V$ يأخذ القيمة ضمن مجال القبول لأجل $H_{0}$ هو:

$P\left(V\geq -c|\mu _{0}\right)=P\left(V\geq -z_{1-\alpha }|\mu _{0}\right)=1-\alpha$

$\sigma$ مجهول:

اذا ليست لدينا أي معرفة مسبقة حول الانحراف المعياري للمتغير العشوائي, نحتاج لنفكر بمقدر الاختبار الاحصائي:

$V={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{\sigma }}{\sqrt {n}}$

يكون المقدر غير المتحيز لتباين المجتمع:

$S^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}}$

باستبدال $\sigma$ بواسطة الجذر التربيعي الى $S^{2}$ نحصل على الاختبار الاحصائي الجديد:

$V={\frac {{\bar {X}}-\mu _{0}}{S}}{\sqrt {n}}$

اذا الفرضية الصفرية $H_{0}$ صحيحة , $V$ له توزيع-t (على الأقل تقريبي) مع درجة الحرية $f=n-1$ .

لأجل مستوى الدلالة المعطاة $\alpha$ و$f=n-1$ درجة الحرية, يمكن قراءة القيم الحرجة من جدول توزيع-t

اذا أشرنا لتوزيع-t التجميعي مع درجة الحرية$f=n-1$ لأجل الاحتمال $P$ بواسطة: $t_{p;n-1}$

نفرض $\mu _{0}$ متوسط المجتمع الحقيقي, لدينا مجالات القرار التالية لمواقف الاختبار:

1-الاختبار الثنائي الجانب :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \lqin 1:25»): {\displaystyle P\left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{0}\right) =\alpha }

ومن جهة أخرى, $v$ تقع في مجال القبول, تقودنا العينة المعطاة لقبول الفرضية الصفرية لأجل مستوى الدلالة المعطاة.

حينئذ غير قادرين أن نظهر احصائيا أن العنصر الصحيح $E(X)=\mu$ ينحرف عن القيمة الصفرية $\mu _{0}$

بذلك عملنا خطأ النوع الثاني بمعنى  : خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:17»): {\displaystyle \Prob\left( V\in \text{rejection region for H}_{0}\vert\mu \leq \... ...ht) = \Prob\left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{0}\right) \leq \alpha .}

اذا خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:18»): {\displaystyle =\Prob\left( V\in \text{rejection region for H}_{0}\vert\mu \geq ... ...}\right) \Prob\left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{1}\right) =1-\beta .}

تركيب هذه الصيغ للمجموعتين الثانويتين المنفصلتين لفضاء العنصر, يعطي القوة :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:51»): {\displaystyle P\left( \mu \right)= \begin{cases}\Prob\left( \lq \text{H}_{1}^{\pri... ...me}\vert \text{H}_{1}\right)=1-\beta, & \text{if $ \mu > \mu_{0}.$} \end{cases}}

نستطيع حساب القوة لمشكلة اختبارنا الأحادي الجانب الأيمن لأجل كل قيم العنصر الصحيحة الممكنة $\mu$

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:40»): {\displaystyle P\left( \mu \right) =1-\Prob\left( V\leq z_{1-\alpha }-\frac{\mu -\mu _{0}}{ \sigma /\sqrt{n}}\right) .}

يعرض الشكل البياني التالي, الشكل المثالي للقوة لمشكلة الاختبار الأحادي الجانب الأيمن:

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:17»): {\displaystyle \Prob\left( V\in \text{rejection region for H}_{0}\vert\mu \geq \... ...ht) = \Prob\left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{0}\right) \leq \alpha .}

اذا خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:17»): {\displaystyle \Prob\left( V\in \text{rejection region for H}_{0}\vert\mu \leq \... ...right) = \Prob\left( \lq \text{H}_{1}^{\prime }\vert\text{H}_{1}\right) =1-\beta .}

لكامل فضاء العنصر لدينا :

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:51»): {\displaystyle P\left( \mu \right)= \begin{cases}\Prob\left( \lq \text{H}_{1}^{\pri... ...me}\vert \text{H}_{1}\right)=1-\beta, & \text{if $ \mu < \mu_{0}.$} \end{cases}}

لأجل المجتمع الموزع بشكل طبيعي ,نحسب احتمال رفض $H_{0}$ كتابع لقيمة العنصر الحقيقي $\mu$

خطأ رياضيات (خطأ في التحويل. أبلغ الخادوم («cli») عن: «SyntaxError: Illegal TeX function Found \Probin 1:37»): {\displaystyle P\left( \mu \right)=\Prob \left( V\leq -z_{1-\alpha} - \frac{\mu - \mu_{0}}{ \sigma / \sqrt{n}}\right).}

يظهر الرسم الشكل البياني للقوة لأجل الاختبار الأحادي الجانب الأيسر

يعرف الشكل البياني بشكل مشابه كما في حالة الاختبار الأحادي الجانب الأيمن.